《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

23. 2023 年第 31 届成都大运会的吉祥物“蓉宝”以其呆萌可爱，英姿飒爽的形象，深受大家喜欢. 某商场第一次用 $ 3600 $ 元购进一批“蓉宝”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“蓉宝”玩具时，进价提高了 $ 20\% $，同样用 $ 3600 $ 元购进的数量比第一次少 $ 10 $ 件，求第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价是多少钱？

答案： 【解析】：设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价是$x$元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价是$(1 + 20\%)x=1.2x$元。
根据数量$=$总价$\div$单价，第一次购进的数量为$\dfrac{3600}{x}$件，第二次购进的数量为$\dfrac{3600}{1.2x}$件。
已知第二次购进的数量比第一次少$10$件，可列方程：
$\dfrac{3600}{x}-\dfrac{3600}{1.2x}=10$
方程两边同乘$1.2x$去分母得：
$3600\times1.2 - 3600 = 10\times1.2x$
$4320-3600 = 12x$
$720 = 12x$
解得$x = 60$。
经检验，当$x = 60$时，$1.2x=1.2\times60 = 72\neq0$，$x = 60$是原分式方程的解，且符合题意。
【答案】：$60$元

24. 对于任意的实数 $ a $，$ b $，规定新运算：$ a※b=(a + b)÷ b $.
（1）计算：$ \frac{1}{m - 1}※(-\frac{2}{m + 1}) $=$\frac{m - 3}{2(m - 1)}$；
（2）若 $ \frac{1}{m - 1}※(-\frac{2}{m + 1})+1=\frac{1}{6} $，求 $ m $ 的值.（要求写出解方程过程）$m=\frac{7}{4}$

答案： 【解析】：
（1）根据新运算$a※b = (a + b)\div b$，计算$\frac{1}{m - 1}※(-\frac{2}{m + 1})$时，将$a=\frac{1}{m - 1}$，$b = -\frac{2}{m + 1}$代入新运算公式可得：
$\begin{aligned}&\frac{1}{m - 1}※(-\frac{2}{m + 1})\\=&(\frac{1}{m - 1}-\frac{2}{m + 1})\div(-\frac{2}{m + 1})\\=&(\frac{m + 1}{(m - 1)(m + 1)}-\frac{2(m - 1)}{(m - 1)(m + 1)})\div(-\frac{2}{m + 1})\\=&\frac{m + 1-2m + 2}{(m - 1)(m + 1)}\div(-\frac{2}{m + 1})\\=&\frac{-m + 3}{(m - 1)(m + 1)}\times(-\frac{m + 1}{2})\\=&\frac{m - 3}{2(m - 1)}\end{aligned}$
（2）已知$\frac{1}{m - 1}※(-\frac{2}{m + 1})+1=\frac{1}{6}$，由（1）可知$\frac{1}{m - 1}※(-\frac{2}{m + 1})=\frac{m - 3}{2(m - 1)}$，则原方程可化为$\frac{m - 3}{2(m - 1)}+1=\frac{1}{6}$。
方程两边同时乘以$6(m - 1)$去分母得：
$3(m - 3)+6(m - 1)=m - 1$
去括号得：
$3m-9 + 6m-6=m - 1$
移项得：
$3m+6m - m=-1 + 9 + 6$
合并同类项得：
$8m=14$
系数化为$1$得：
$m=\frac{7}{4}$
经检验，当$m=\frac{7}{4}$时，$6(m - 1)=6\times(\frac{7}{4}-1)=6\times\frac{3}{4}=\frac{9}{2}\neq0$，所以$m=\frac{7}{4}$是原方程的解。
【答案】：（1）$\frac{m - 3}{2(m - 1)}$；（2）$m=\frac{7}{4}$

25. 探索发现：$ \frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2} $；$ \frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} $；$ \frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4} $，$ \cdots $ 根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）$ \frac{1}{4×5}= $$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$ \frac{1}{n×(n + 1)}= $$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$；
（2）利用发现的规律计算：$ \frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{n×(n + 1)}= $$\frac{n}{n + 1}$；
（3）灵活利用规律解方程：$ \frac{1}{x(x + 1)}+\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}+\cdots+\frac{1}{(x + 2022)(x + 2023)}=\frac{1}{x + 2023} $.
解：$x = 2023$.

答案： 【解析】：
（1）根据已知规律可得$\frac{1}{4\times5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n\times(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。
（2）$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{n\times(n + 1)}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}) = 1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n}{n + 1}$。
（3）原方程可化为$(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1})+(\frac{1}{x + 1}-\frac{1}{x + 2})+\cdots+(\frac{1}{x + 2022}-\frac{1}{x + 2023})=\frac{1}{x + 2023}$，即$\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 2023}=\frac{1}{x + 2023}$，$\frac{1}{x}=\frac{2}{x + 2023}$，交叉相乘得$x + 2023 = 2x$，解得$x = 2023$，经检验$x = 2023$是原方程的解。
【答案】：
（1）$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$；
（2）$\frac{n}{n + 1}$；
（3）$x = 2023$。