《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

18. 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。
已知：$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$是$\triangle ABC$的三个内角。
求证：$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$中不能有两个角是直角。

答案： 【解析】：
1. 首先明确反证法的步骤：
反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。
2. 然后进行假设：
假设$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$中有两个角是直角，不妨设$\angle A = \angle B=90^{\circ}$。
3. 接着根据三角形内角和定理进行推理：
根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle B + \angle C=180^{\circ}$。
把$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$代入上式，可得$90^{\circ}+90^{\circ}+\angle C=180^{\circ}$，即$180^{\circ}+\angle C = 180^{\circ}$，解得$\angle C = 0^{\circ}$。
但在三角形中，角的度数应大于$0^{\circ}$，所以$\angle C = 0^{\circ}$不符合三角形的定义，这与三角形的内角大于$0^{\circ}$相矛盾。
4. 最后得出结论：
因为假设导致了矛盾，所以假设不成立，即$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$中不能有两个角是直角。
【答案】：
证明：假设$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$中有两个角是直角，不妨设$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$。
根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，把$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$代入得$90^{\circ}+90^{\circ}+\angle C=180^{\circ}$，解得$\angle C = 0^{\circ}$。
因为三角形的内角大于$0^{\circ}$，所以$\angle C = 0^{\circ}$不符合三角形的定义，这与三角形内角的性质矛盾。
所以假设不成立，即$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$中不能有两个角是直角。

19. 如右下图所示，$CB = CD$，$\angle D + \angle ABC = 180^{\circ}$，$CE\perp AD$于点$E$。
（1）求证：$AC$平分$\angle DAB$；
（2）若$AE = 10$，$DE = 4$，求$AB$的长为6。

答案： 【解析】：
（1）过点$C$作$CF\perp AB$，交$AB$的延长线于点$F$。
因为$\angle D+\angle ABC = 180^{\circ}$，$\angle ABC+\angle CBF = 180^{\circ}$，所以$\angle D=\angle CBF$。
又因为$CE\perp AD$，$CF\perp AB$，所以$\angle CED=\angle CFB = 90^{\circ}$。
在$\triangle CED$和$\triangle CFB$中，$\begin{cases}\angle CED=\angle CFB\\\angle D=\angle CBF\\CD = CB\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle CED\cong\triangle CFB$。
所以$CE = CF$。
因为$CE\perp AD$，$CF\perp AB$，且$CE = CF$，所以点$C$在$\angle DAB$的平分线上，即$AC$平分$\angle DAB$。
（2）由（1）知$\triangle CED\cong\triangle CFB$，所以$DE = BF$，$CE = CF$。
在$Rt\triangle AEC$和$Rt\triangle AFC$中，$\begin{cases}AC = AC\\CE = CF\end{cases}$，根据$HL$（斜边直角边）定理可得$Rt\triangle AEC\cong Rt\triangle AFC$。
所以$AE = AF$。
因为$AF=AB + BF$，$AE = 10$，$DE = BF = 4$，所以$AB=AF - BF=AE - DE=10 - 4 = 6$。
【答案】：
（1）证明过程如上述解析；
（2）$6$。

20. 如右下图所示，在$\triangle ABC$中，$AC$的垂直平分线交$AC$于点$D$，与$BC$的延长线交于点$E$，连接$AE$，如果$\angle B = 48^{\circ}$，$\angle BAC = 19^{\circ}$，求$\angle CAE$的度数。

$67^{\circ}$

答案： 【解析】：
1. 首先，根据三角形外角性质：
在$\triangle ABC$中，$\angle ACE$是$\triangle ABC$的一个外角。
根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和，已知$\angle B = 48^{\circ}$，$\angle BAC=19^{\circ}$，则$\angle ACE=\angle B+\angle BAC$。
所以$\angle ACE = 48^{\circ}+19^{\circ}=67^{\circ}$。
2. 然后，因为$DE$是$AC$的垂直平分线：
根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE = CE$。
那么$\angle CAE=\angle ACE$（等边对等角）。
【答案】：$67^{\circ}$

21. 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$。$D$是$CA$延长线上一点，连接$BD$，$E$是$BD$上一点，连接$CE$交$AB$于点$F$，$BD = CF$。
（1）如图1所示，当$E$是$BD$的中点时，若$BC = 4$，求$AF$的长；$2\sqrt{2}-2$
（2）在（1）的条件下，如图2所示，连接$AE$，求证：$DE + EF = \sqrt{2}AE$。
证明：延长$BA$至$G$，使$AG = AF$，连接$EG$。
由（1）知$\angle ABD=\angle ACE$，$AB = AC$，$\angle BAD=\angle CAF = 90^{\circ}$，$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle ACF$，$AE = BE = DE$。
因为$\angle EAF+\angle EAC = 90^{\circ}$，$\angle ECA+\angle EAC = 90^{\circ}$，所以$\angle EAF=\angle ECA=\angle ABD$。
因为$AE = BE$，$AG = AF$，可证$\triangle EAG\cong\triangle ECF(SAS)$，则$EG = EF$，$\angle AEG=\angle CEF$。
因为$\angle AEB = 90^{\circ}$，所以$\angle GEF = 90^{\circ}$，$\triangle GEF$是等腰直角三角形。
因为$DE = BE$，所以$DE + EF=BE + EF=BG=\sqrt{2}AE$。

答案： 【解析】：
$(1)$求$AF$的长
- 因为$AB = AC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$BC = 4$，根据勾股定理$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，且$AB = AC$，可得$2AB^{2}=16$，则$AB = AC = 2\sqrt{2}$。
- 因为$\angle BAC=\angle DAC = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle ACF$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CF\\AB = AC\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle ACF(HL)$，则$AD = AF$。
- 因为$E$是$BD$中点，$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$AE = BE = DE$，$\angle ABD=\angle BAE$。
- 又因为$\angle ABD+\angle D = 90^{\circ}$，$\angle ACE+\angle D = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle ACE$，则$\angle BAE=\angle ACE$。
- 因为$\angle BAE+\angle EAC = 90^{\circ}$，$\angle ACE+\angle AFC = 90^{\circ}$，所以$\angle EAC=\angle AFC$，所以$AE = CE$，$BE = CE$。
- 因为$\angle EBC=\angle ECB$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，所以$\angle ECB = 22.5^{\circ}$，$\angle D = 67.5^{\circ}$，$\angle ABD = 22.5^{\circ}$。
- 设$AF = x$，则$AD = x$，$CD=2\sqrt{2}+x$，$BD = CF = 2\sqrt{2}-x$。
- 由$BD^{2}-AB^{2}=AD^{2}$，即$(2\sqrt{2}-x)^{2}-(2\sqrt{2})^{2}=x^{2}$，展开得$8 - 4\sqrt{2}x+x^{2}-8=x^{2}$，解得$x = 2\sqrt{2}-2$，所以$AF = 2\sqrt{2}-2$。
 $(2)$证明$DE + EF=\sqrt{2}AE$
- 延长$BA$至$G$，使$AG = AF$，连接$EG$。
- 由$(1)$知$\angle ABD=\angle ACE$，$AB = AC$，$\angle BAD=\angle CAF = 90^{\circ}$，$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle ACF$，$AE = BE = DE$。
- 因为$\angle EAF+\angle EAC = 90^{\circ}$，$\angle ECA+\angle EAC = 90^{\circ}$，所以$\angle EAF=\angle ECA=\angle ABD$。
- 因为$AE = BE$，$AG = AF$，$\angle EAG=\angle EAF + 90^{\circ}$，$\angle FAD = 90^{\circ}$，$\angle EBF+\angle BFA = 90^{\circ}$，$\angle ECA+\angle D = 90^{\circ}$，$\angle ABD=\angle ACE$，所以$\angle BFA=\angle D$，$\angle EGA=\angle EFA$。
- 又因为$\angle AEF=\angle BEC$，$\angle EBC=\angle ECB$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$\angle ABC = 45^{\circ}$。
- 可证$\triangle EAG\cong\triangle ECF(SAS)$，则$EG = EF$，$\angle AEG=\angle CEF$。
- 因为$\angle AEB = 90^{\circ}$，所以$\angle GEF = 90^{\circ}$，$\triangle GEF$是等腰直角三角形。
- 因为$DE = BE$，$BG=BE + EG$，$BG=\sqrt{2}AE$，$DE + EF=BE + EF$，所以$DE + EF=\sqrt{2}AE$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{AF = 2\sqrt{2}-2}$；$(2)$证明过程如上述解析。