《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

10. 在等腰三角形$ABC$中，$BD\perp AC$，垂足为点$D$，且$BD = \frac{1}{2}AC$，则等腰三角形$ABC$底角的度数为$15^{\circ}$或$30^{\circ}$或$75^{\circ}$。

答案： $15^{\circ}$或$30^{\circ}$或$75^{\circ}$

11. 如下图所示，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B$为直角，$DE$是$AC$的垂直平分线，$DE$交$AC$于点$D$，交$BC$于点$E$，且$\angle BAE:\angle BAC = 1:5$，则$\angle C =$$40^{\circ}$。

答案： $40^{\circ}$

12. 新考向 如下图所示，在$\triangle ABC$中，$AC = BC = 2$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$是$BC$边上的中点，$E$是$AB$边上一动点，则$EC + ED$的最小值是______$\sqrt{13}$。

答案： $\sqrt{13}$

13. 如下图所示，小明将一副三角板摆成如图形状，如果$\angle AOB = 155^{\circ}$，那么$\angle COD =$$25^{\circ}$。

答案： $25^{\circ}$

14. 如上图所示，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，若$\triangle ABC$与$\triangle EBC$的周长分别是$40cm$，$24cm$，则$AB =$______16$cm$。

答案： $16$

15. 新考向 $AB$与$CD$相交于点$O$，$AB = CD$，$\angle AOC = 60^{\circ}$，$\angle ACD + \angle ABD = 210^{\circ}$，则线段$AB$，$AC$，$BD$之间的等量关系式为$AB^{2}+AC^{2}=BD^{2}$。

答案： $AB^{2}+AC^{2}=BD^{2}$

16. 如右下图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$AB = 14$，$D$为$BC$上一点，$AD = AC$，$CD = 6$，求$BD$的长。

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答案： 【解析】：过$A$作$AE\perp BC$于$E$。
因为$AD = AC$，$AE\perp CD$，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$DE=CE=\frac{1}{2}CD$（等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一）。
已知$CD = 6$，则$DE = CE=3$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle BAE=30^{\circ}$，则$BE=\frac{1}{2}AB$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
已知$AB = 14$，所以$BE = 7$。
那么$BD=BE - DE$，$BD=7 - 3=4$。
【答案】：$4$

17. 如右下图所示，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD\perp BC$于点$D$，$BE$平分$\angle ABC$，$AD$，$BE$相交于点$F$。
（1）若$\angle CAD = 36^{\circ}$，求$\angle AEF$的度数；$72^{\circ}$
（2）求证：$\angle AEF = \angle AFE$。已证$\angle AEF=\angle AFE$

答案： 【解析】：
（1）
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle CAD = 36^{\circ}$，所以$\angle BAD=\angle BAC-\angle CAD = 90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$。
又因为$AD\perp BC$，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，在$\triangle ABD$中，$\angle ABC=180^{\circ}-\angle BAD - \angle ADB=180^{\circ}-54^{\circ}-90^{\circ}=36^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times36^{\circ}=18^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，$\angle AEF = 180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABE=180^{\circ}-90^{\circ}-18^{\circ}=72^{\circ}$。
（2）
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle ABE+\angle AEF = 90^{\circ}$。
因为$AD\perp BC$，所以$\angle BDF = 90^{\circ}$，则$\angle FBD+\angle BFD = 90^{\circ}$。
又因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\angle FBD$。
根据等角的余角相等，可得$\angle AEF=\angle BFD$。
而$\angle BFD=\angle AFE$（对顶角相等），所以$\angle AEF=\angle AFE$。
【答案】：
（1）$72^{\circ}$；
（2）已证$\angle AEF=\angle AFE$。