《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

15. 关于 $ x $，$ y $ 的方程 $ x ^ { 3 } - y ^ { 3 } + x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 } = 32 $ 的正整数解的个数为1个。

答案： $1$

16. 若 $ 2 a + 3 b = 1 $，则 $ 3 - 4 a - 6 b = $1。

答案： $1$

17. 已知 $ a $，$ b $，$ c $ 为三角形的三边，且 $ a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 a b - 2 b c = 0 $，则三角形的形状是______等边三角形。

答案： 等边三角形

18. 将下列各式分解因式。
（1）$ x ^ { 2 } y - 2 x y ^ { 2 } $； （2）$ a ^ { 2 } - 4 a + 4 $；
（3）$ x ^ { 2 } + 4 x - 21 $； （4）$ 2 x ^ { 2 } + 2 x + \frac { 1 } { 2 } $；
（5）$ a ^ { 3 } - a + 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } $；
（6）$ ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } $。

答案： 【解析】：
1. 对于（1）$x^{2}y - 2xy^{2}$：
提取公因式法：观察式子，每一项都含有公因式$xy$，根据提取公因式$ma+mb = m(a + b)$，这里$m = xy$，$a=x$，$b = 2y$，所以$x^{2}y-2xy^{2}=xy(x - 2y)$。
2. 对于（2）$a^{2}-4a + 4$：
完全平方公式法：完全平方公式为$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，在$a^{2}-4a + 4$中，$a$相当于公式中的$a$，$2$相当于公式中的$b$，因为$-4a=-2\times a\times2$，$4 = 2^{2}$，所以$a^{2}-4a + 4=(a - 2)^{2}$。
3. 对于（3）$x^{2}+4x - 21$：
十字相乘法：对于二次三项式$x^{2}+(p + q)x+pq=(x + p)(x + q)$，在$x^{2}+4x - 21$中，需要找到两个数$p$和$q$，使得$p+q = 4$，$pq=-21$，经分析$p = 7$，$q=-3$，所以$x^{2}+4x - 21=(x + 7)(x - 3)$。
4. 对于（4）$2x^{2}+2x+\frac{1}{2}$：
先提取公因式，再用完全平方公式：
先提取公因式$2$，得到$2x^{2}+2x+\frac{1}{2}=2\left(x^{2}+x+\frac{1}{4}\right)$。
对于$x^{2}+x+\frac{1}{4}$，根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$，这里$a = x$，$b=\frac{1}{2}$，因为$x = 2\times x\times\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$，所以$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}$，则$2x^{2}+2x+\frac{1}{2}=2\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}$。
5. 对于（5）$a^{3}-a + 2a^{2}b+ab^{2}$：
分组分解法：
先分组$a^{3}-a + 2a^{2}b+ab^{2}=(a^{3}-a)+(2a^{2}b+ab^{2})$。
对$a^{3}-a$提取公因式$a$得$a(a^{2}-1)$，再根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，$a^{2}-1=(a + 1)(a - 1)$，所以$a^{3}-a=a(a + 1)(a - 1)$；对$2a^{2}b+ab^{2}$提取公因式$ab$得$ab(2a + b)$。
原式$=a(a^{2}-1)+ab(2a + b)=a(a + 1)(a - 1)+ab(2a + b)=a\left[(a + 1)(a - 1)+b(2a + b)\right]=a\left(a^{2}-1 + 2ab+b^{2}\right)=a\left[(a + b)^{2}-1\right]$，再根据平方差公式$a\left[(a + b)^{2}-1\right]=a(a + b + 1)(a + b - 1)$。
6. 对于（6）$(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$：
先利用平方差公式，再利用完全平方公式：
根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m=a^{2}+b^{2}$，$n = 2ab$，则$(a^{2}+b^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}=(a^{2}+b^{2}+2ab)(a^{2}+b^{2}-2ab)$。
再根据完全平方公式$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$，$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$，所以$(a^{2}+b^{2}+2ab)(a^{2}+b^{2}-2ab)=(a + b)^{2}(a - b)^{2}$。
【答案】：（1）$xy(x - 2y)$；（2）$(a - 2)^{2}$；（3）$(x + 7)(x - 3)$；（4）$2\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}$；（5）$a(a + b + 1)(a + b - 1)$；（6）$(a + b)^{2}(a - b)^{2}$

19. 在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下：
甲：$ x ^ { 2 } - x y + 4 x - 4 y $
$ = ( x ^ { 2 } - x y ) + ( 4 x - 4 y ) $（分成两组）
$ = x ( x - y ) + 4 ( x - y ) $（直接提公因式）
$ = ( x - y ) ( x + 4 ) $。
乙：$ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } - c ^ { 2 } + 2 b c $
$ = a ^ { 2 } - ( b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 2 b c ) $（分成两组）
$ = a ^ { 2 } - ( b - c ) ^ { 2 } $（直接运用公式）
$ = ( a + b - c ) ( a - b + c ) $。
请你在他们解法的启发下，解答下面各题：
（1）因式分解：$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 1 - 2 a b $=$(a - b + 1)(a - b - 1)$；
（2）已知 $ a - b = 2 $，$ b - c = - 10 $，求式子 $ a ^ { 2 } - a c - a b + b c $ 的值为$-16$；
（3）已知 $ \triangle A B C $ 的三边长分别是 $ a $，$ b $，$ c $，且满足 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 2 a c + 2 b c - 2 c ^ { 2 } $，试判断 $ \triangle A B C $ 的形状，并说明理由。
答：$ \triangle A B C $是等边三角形，理由：由$a^{2}+b^{2}=2ac + 2bc-2c^{2}$变形得$(a - c)^{2}+(b - c)^{2}=0$，所以$a = c$且$b = c$，即$a = b = c$，故$\triangle ABC$是等边三角形。

答案： 【解析】：
（1）
对$a^{2}+b^{2}-1 - 2ab$进行因式分解，可先将$a^{2}$、$b^{2}$、$-2ab$结合在一起，根据完全平方公式$(m - n)^2=m^{2}-2mn + n^{2}$，这里$m = a$，$n = b$，则$a^{2}+b^{2}-2ab=(a - b)^{2}$，所以原式可化为$(a - b)^{2}-1$。
再根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，这里$m=a - b$，$n = 1$，则$(a - b)^{2}-1=(a - b + 1)(a - b - 1)$。
（2）
对$a^{2}-ac - ab+bc$进行因式分解，可分组为$(a^{2}-ab)-(ac - bc)$，分别提公因式得$a(a - b)-c(a - b)$，再提公因式$(a - b)$，得到$(a - b)(a - c)$。
已知$a - b = 2$，$b - c=-10$，由$a - c=(a - b)+(b - c)$，把$a - b = 2$，$b - c=-10$代入可得$a - c=2+( - 10)=-8$。
将$a - b = 2$，$a - c=-8$代入$(a - b)(a - c)$，则$(a - b)(a - c)=2\times(-8)=-16$。
（3）
已知$a^{2}+b^{2}=2ac + 2bc-2c^{2}$，移项可得$a^{2}+b^{2}-2ac - 2bc + 2c^{2}=0$。
将其变形为$(a^{2}-2ac + c^{2})+(b^{2}-2bc + c^{2})=0$，根据完全平方公式可得$(a - c)^{2}+(b - c)^{2}=0$。
因为一个数的平方是非负数，要使两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，即$a - c = 0$且$b - c = 0$，所以$a = c$且$b = c$，那么$a = b = c$。
根据等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
【答案】：
（1）$(a - b + 1)(a - b - 1)$；
（2）$-16$；
（3）$\triangle ABC$是等边三角形，理由：由$a^{2}+b^{2}=2ac + 2bc-2c^{2}$变形得$(a - c)^{2}+(b - c)^{2}=0$，所以$a = c$且$b = c$，即$a = b = c$，故$\triangle ABC$是等边三角形。

20. 已知整式 $ A = x ( x + 3 ) + 5 $，整式 $ B = a x - 1 $。
（1）若 $ A + B = ( x - 2 ) ^ { 2 } $，求 $ a $ 的值；-7
（2）若 $ A - B $ 可以分解为 $ ( x - 2 ) ( x - 3 ) $，求 $ a $ 的值。8

答案： 【解析】：
（1）首先求出$A + B$的表达式，$A + B=x(x + 3)+5+ax - 1$，展开$x(x + 3)$得$x^{2}+3x$，所以$A + B=x^{2}+3x+ax + 4=x^{2}+(3 + a)x + 4$。
又因为$A + B=(x - 2)^{2}$，根据完全平方公式$(m - n)^{2}=m^{2}-2mn + n^{2}$，这里$m = x$，$n = 2$，则$(x - 2)^{2}=x^{2}-4x + 4$。
那么$x^{2}+(3 + a)x + 4=x^{2}-4x + 4$，根据等式两边同类项系数相等，可得$3 + a=-4$，解得$a=-4 - 3=-7$。
（2）先求出$A - B$的表达式，$A - B=x(x + 3)+5-(ax - 1)$，展开$x(x + 3)$得$x^{2}+3x$，则$A - B=x^{2}+3x+5 - ax + 1=x^{2}+(3 - a)x + 6$。
因为$A - B=(x - 2)(x - 3)$，根据多项式乘法法则$(m + p)(n+q)=mn+mq+pn+pq$，则$(x - 2)(x - 3)=x^{2}-3x-2x + 6=x^{2}-5x + 6$。
所以$x^{2}+(3 - a)x + 6=x^{2}-5x + 6$，根据等式两边同类项系数相等，可得$3 - a=-5$，解得$a=3 + 5 = 8$。
【答案】：（1）$a=-7$；（2）$a = 8$