《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

8. 如下图所示，在$\mathrm{R}\mathrm{t}\triangle ABC$中，$\angle ABC=90^{\circ}$，$AB=BC=2\sqrt{2}$，将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$，得到$\triangle ADE$，连接$BE$，则$BE$的长是 （B）

A. $\sqrt{3}+2$
B. $2\sqrt{3}+2$
C. $2\sqrt{3}$
D. 5

答案： B

9. 北京 2022 年冬奥会雪花图案令人印象深刻，如下图所示，雪花图案围绕旋转中心至少旋转60°后可以完全重合.

答案： $60^{\circ}$

10. 在平面直角坐标系中，把点$P(a-1,5)$向左平移$3$个单位长度得到点$Q(2-2b,5)$，则$2a+4b+3$的值为______15.

答案： $15$

11. 如下图所示，在一块长为$a\mathrm{m}$、宽为$b\mathrm{m}$的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移$1\mathrm{m}$就是它的右边线. 则这块草地的绿地面积是$ab - b$$\mathrm{m}^{2}$.

答案： 11. $ab - b$
12. $20^{\circ}$

12. 如右图所示，将长方形$ABCD$绕点$A$顺时针旋转到长方形$AB'C'D'$的位置，旋转角为$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$，若$\angle 1=110^{\circ}$，则$\angle \alpha=$$20^{\circ}$.

答案： $20^{\circ}$

13. 如右图所示，在正方形$ABCD$中，$AD=1$，将$\triangle ABD$绕点$B$顺时针旋转$45^{\circ}$得到$\triangle A'BD'$，此时$A'D'$与$CD$交于点$E$，则$DE$的长度为$2-\sqrt{2}$.

答案： $2-\sqrt{2}$

14. 如下图所示，将$\triangle ABC$沿$BC$方向平移$6\mathrm{c}\mathrm{m}$得到$\triangle DEF$，若$BF=5CE$，则$BC$的长为4cm.

答案： $4cm$

15. 如右图所示，在$\triangle ABC$中，以$C$为中心，将$\triangle ABC$顺时针旋转$38^{\circ}$得到$\triangle DEC$，$ED$，$AC$相交于点$F$，若$\angle A=30^{\circ}$，则$\angle EFC$的度数为$68^{\circ}$.

答案： $68^{\circ}$

16. 感知：如图 1 所示，$\triangle ABC$和$\triangle AED$都是等腰直角三角形，$\angle BAC=\angle DAE=90^{\circ}$，点$B$在线段$AD$上，点$C$在线段$AE$上，我们很容易得到$BD=CE$，不需要证明.
探究：如图 2 所示，将$\triangle AED$绕点$A$逆时针旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$，连接$BD$和$CE$，此时$BD=CE$是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由.
应用：如图 3 所示，当$\triangle ADE$绕点$A$逆时针旋转，使得点$D$落在$BC$的延长线上，连接$CE$.
（1）$\angle ACE$的度数为45度；
（2）线段$BC$，$CD$，$CE$之间的数量关系是$CE=BC+CD$；
（3）若$AB=AC=\sqrt{2}$，$CD=1$，则线段$DE$的长为$\sqrt{10}$.

答案： 【解析】：
探究
因为$\triangle ABC$和$\triangle AED$都是等腰直角三角形，所以$AB = AC$，$AD = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$。
$\angle BAC+\angle CAD=\angle DAE+\angle CAD$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$BD = CE$。
应用
(1) 因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，所以$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$。
由探究可知$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$\angle ACE=\angle ABD = 45^{\circ}$。
(2) 因为$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$BD = CE$。
又因为$BD=BC + CD$，所以$CE=BC + CD$。
(3) 因为$AB = AC=\sqrt{2}$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}} = 2$。
由
(2)知$CE=BC + CD$，$CD = 1$，所以$CE=2 + 1=3$。
因为$\angle ACE = 45^{\circ}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\angle ECD = 90^{\circ}$。
又因为$AD = AE$，$\angle DAE = 90^{\circ}$，$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$BD = CE = 3$，$BC = 2$，则$CD = 1$。
在$Rt\triangle ECD$中，$DE=\sqrt{CE^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$。
【答案】：
探究：成立，证明见上述解析。
应用：
(1)$\boldsymbol{45}$；
(2)$\boldsymbol{CE = BC + CD}$；
(3)$\boldsymbol{\sqrt{10}}$。