《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

16. 如果多项式 $ x ^ { 2 } - 6 x + c $ 可以分解为 $ ( x - 3 ) ^ { 2 } $，那么 $ c $ 的值为______9。

答案： $9$

17. 若 $ 2022 ^ { 2022 } - 2022 ^ { 2020 } = 2023 × 2022 ^ { n } × 2021 $，则 $ n $ 的值是______2020。

答案： $2020$

18. 若 $ m ^ { 2 } = n + 2 $，$ n ^ { 2 } = m + 2 ( m \neq n ) $，则 $ m ^ { 3 } - 2 m n + n ^ { 3 } $ 的值为-2。

答案： $-2$

19. 如下图所示，边长为 $ a $，$ b $ 的长方形，它的周长为 $ 14 $，面积为 $ 10 $，则 $ a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } = $70。

答案： $70$

20. 分解因式：
（1）$ 9 x ^ { 2 } - a ^ { 2 } + 2 a - 1 $；
（2）$ a ^ { 4 } - 18 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 81 b ^ { 4 } $；
（3）$ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } + a x + a y $。

答案： 【解析】：
（1）
$\begin{aligned}&9x^{2}-a^{2}+2a - 1\\=&9x^{2}-(a^{2}-2a + 1)\\=&9x^{2}-(a - 1)^{2}\\=&(3x)^{2}-(a - 1)^{2}\\=&(3x + a - 1)(3x-(a - 1))\\=&(3x + a - 1)(3x - a+1)\end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned}&a^{4}-18a^{2}b^{2}+81b^{4}\\=&(a^{2})^{2}-2\times a^{2}\times9b^{2}+(9b^{2})^{2}\\=&(a^{2}-9b^{2})^{2}\\=&[a^{2}-(3b)^{2}]^{2}\\=&(a + 3b)^{2}(a - 3b)^{2}\end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned}&x^{2}-y^{2}+ax + ay\\=&(x^{2}-y^{2})+(ax + ay)\\=&(x + y)(x - y)+a(x + y)\\=&(x + y)(x - y+a)\end{aligned}$
【答案】：（1）$(3x + a - 1)(3x - a + 1)$；（2）$(a + 3b)^{2}(a - 3b)^{2}$；（3）$(x + y)(x - y + a)$

21. （1）已知实数 $ a $，$ b $ 满足 $ a ( a + 1 ) - ( a ^ { 2 } + 2 b ) = 1 $，你能求出 $ a ^ { 2 } - 4 a b + 4 b ^ { 2 } - 2 a + 4 b $ 的值吗？-1
（2）已知 $ x - y = - 3 $，$ - x + 3 y = 2 $，求代数式 $ x ^ { 2 } - 4 x y + 3 y ^ { 2 } $ 的值。6
（3）已知 $ x - y = 2 $，$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 6 $，求代数式 $ x ^ { 3 } y - 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x y ^ { 3 } $ 的值。3

答案： 【解析】：
（1）
首先对$a(a + 1)-(a^{2}+2b)=1$进行化简：
$\begin{aligned}a(a + 1)-(a^{2}+2b)&=1\\a^{2}+a - a^{2}-2b&=1\\a - 2b&=1\end{aligned}$
然后对$a^{2}-4ab + 4b^{2}-2a + 4b$进行变形：
$\begin{aligned}a^{2}-4ab + 4b^{2}-2a + 4b&=(a - 2b)^{2}-2(a - 2b)\end{aligned}$
把$a - 2b = 1$代入上式可得：
$(a - 2b)^{2}-2(a - 2b)=1^{2}-2\times1=1 - 2=-1$
（2）
因为$x^{2}-4xy + 3y^{2}=(x - y)(x - 3y)$，
已知$x - y=-3$，$-x + 3y = 2$，则$x - 3y=-2$。
把$x - y=-3$，$x - 3y=-2$代入$(x - y)(x - 3y)$可得：
$(x - y)(x - 3y)=(-3)\times(-2)=6$
（3）
因为$(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$，已知$x - y = 2$，$x^{2}+y^{2}=6$，
则$2^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy$，即$4 = 6-2xy$，
解得$xy = 1$。
对$x^{3}y-3x^{2}y^{2}+xy^{3}$进行变形可得：
$x^{3}y-3x^{2}y^{2}+xy^{3}=xy(x^{2}-3xy + y^{2})$
把$xy = 1$，$x^{2}+y^{2}=6$代入上式可得：
$xy(x^{2}-3xy + y^{2})=1\times(6 - 3\times1)=1\times(6 - 3)=3$
【答案】：（1）$-1$；（2）$6$；（3）$3$