《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

18. 如右下图所示，在$Rt\triangle ABC$中，$∠C=90^{\circ }$，$∠BAC$的平分线AD交BC于点D，若$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$。求点D到AB的距离。

$\frac{10}{3}$

答案： 【解析】：
过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$。
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\perp AC$），$DE\perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DC = DE$。
设$DC = DE=x$，则$BD=12 - x$。
根据三角形面积公式，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABD}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times5\times12 = 30$；
$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DC=\frac{1}{2}\times5\times x=\frac{5}{2}x$；
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}\times13\times x=\frac{13}{2}x$。
则$\frac{5}{2}x+\frac{13}{2}x = 30$，
$\frac{5x + 13x}{2}=30$，
$18x = 60$，
解得$x=\frac{10}{3}$。
【答案】：$\frac{10}{3}$

19. 如右下图所示，在$\triangle ABC$中，点D，E分别在边AB，AC上，连接CD，BE，$BD=BC=BE$。
（1）若$∠A=30^{\circ }$，$∠ACB=70^{\circ }$，求$∠BDC$，$∠ACD$的度数；
$∠BDC=$50°，$∠ACD=$20°
（2）设$∠ACD=\alpha ^{\circ }$，$∠ABE=\beta ^{\circ }$，求$\alpha $与$\beta $之间的数量关系，并说明理由。
$\alpha $与$\beta $之间的数量关系为$\alpha = 2\beta$

答案： 1. （1）
首先求$\angle ABC$的度数：
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，已知$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 70^{\circ}$，则$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A - \angle ACB$。
所以$\angle ABC = 180^{\circ}-30^{\circ}-70^{\circ}=80^{\circ}$。
然后求$\angle BDC$的度数：
因为$BD = BC$，所以$\triangle BDC$是等腰三角形，根据等腰三角形性质$\angle BDC=\angle BCD$。
又因为$\angle BDC+\angle BCD+\angle DBC = 180^{\circ}$，且$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD$，这里$\angle ABD$暂不考虑（因为$BD = BC$），由等腰三角形内角和公式$\angle BDC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DBC)$，而$\angle DBC = 180^{\circ}-2\angle BDC$，又因为$\angle DBC=\angle ABC - (\angle ABC - \angle DBC)$（错误思路纠正），正确的是：在$\triangle BDC$中，$\angle BDC=\angle BCD$，$\angle DBC = 180^{\circ}-2\angle BDC$，又$\angle DBC=\angle ABC$（因为$BD = BC$），$\angle ABC = 80^{\circ}$，所以$\angle BDC=\angle BCD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle DBC)=\frac{1}{2}(180 - 80)^{\circ}=50^{\circ}$。
最后求$\angle ACD$的度数：
已知$\angle ACB = 70^{\circ}$，$\angle ACD=\angle ACB-\angle BCD$，所以$\angle ACD = 70^{\circ}-50^{\circ}=20^{\circ}$。
2. （2）
设$\angle BDC=\angle BCD = x$，$\angle BEC=\angle BCE = y$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，$\angle ABC=\beta+\angle DBC$，$\angle ACB=\alpha+\angle BCE$，$\angle DBC = 180 - 2x$，$\angle BCE = y$。
因为$\angle A+\angle ABD+\angle DBC+\angle ACD+\angle BCE=180^{\circ}$，又$\angle ABD=\angle A + \angle ACD$（三角形外角性质：$\angle BDC=\angle A+\angle ACD$，即$x = 30+\alpha$（这里$\angle A$先不代入具体值），$\angle BEC=\angle A+\angle ABE$，即$y=\angle A+\beta$）。
由$\angle A+( \angle A+\alpha)+(180 - 2x)+\alpha+x=180^{\circ}$（错误思路纠正），正确如下：
因为$\angle BDC=\angle A+\angle ACD$（三角形外角定理：$\angle BDC$是$\triangle ADC$的外角），所以$\angle BDC=\alpha+\angle A$，又$BD = BC$，则$\angle BCD=\angle BDC=\alpha+\angle A$。
因为$\angle BEC=\angle A+\angle ABE$（三角形外角定理：$\angle BEC$是$\triangle ABE$的外角），又$BE = BC$，所以$\angle BCE=\angle BEC=\angle A+\beta$。
又因为$\angle ACB=\angle ACD+\angle BCE$，$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，且$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，$\angle DBC = 180 - 2\angle BDC=180 - 2(\alpha+\angle A)$，$\angle ABD=\beta$。
把$\angle ABC=\beta+(180 - 2(\alpha+\angle A))$，$\angle ACB=\alpha+(\angle A+\beta)$代入$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$得：
$\angle A+\beta+(180 - 2\alpha-2\angle A)+\alpha+\angle A+\beta = 180^{\circ}$。
化简得：$2\beta-\alpha = 0$，即$\alpha = 2\beta$。
综上，（1）$\angle BDC = 50^{\circ}$，$\angle ACD = 20^{\circ}$；（2）$\alpha = 2\beta$。

20. 如下图所示，已知A，E，F，C四点在同一直线上，$AE=CF$，过点E，F分别作$DE⊥AC$于点E，$BF⊥AC$于点F，若$AB=CD$。问：

（1）BD与EF互相平分吗？请说明理由。
$BD$与$EF$互相平分。理由：通过证明$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$（$HL$）得到$BF = DE$，再证明$\triangle BFG\cong\triangle DEG$（$AAS$），得出$FG = EG$，$BG = DG$。
（2）若将$\triangle ABF$沿CA方向移动变为图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由。
上述结论成立。理由：通过证明$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$（$HL$）得到$BF = DE$，再证明$\triangle BFG\cong\triangle DEG$（$AAS$），得出$FG = EG$，$BG = DG$。

答案： 【解析】：
（1）
因为$AE = CF$，所以$AE + EF = CF + EF$，即$AF = CE$。
因为$DE⊥AC$，$BF⊥AC$，所以$\angle AFB=\angle CED = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\AF = CE\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边 - 直角边）定理可得$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$。
所以$BF = DE$。
在$\triangle BFG$和$\triangle DEG$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BGF=\angle DGE\\\angle BFG=\angle DEG\\BF = DE\end{array}\right.$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理可得$\triangle BFG\cong\triangle DEG$。
所以$FG = EG$，$BG = DG$，即$BD$与$EF$互相平分。
（2）
因为$AE = CF$，所以$AE - EF = CF - EF$，即$AF = CE$。
因为$DE⊥AC$，$BF⊥AC$，所以$\angle AFB=\angle CED = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABF$和$Rt\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\AF = CE\end{array}\right.$，根据$HL$定理可得$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$。
所以$BF = DE$。
在$\triangle BFG$和$\triangle DEG$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BGF=\angle DGE\\\angle BFG=\angle DEG\\BF = DE\end{array}\right.$，根据$AAS$定理可得$\triangle BFG\cong\triangle DEG$。
所以$FG = EG$，$BG = DG$，即$BD$与$EF$互相平分，上述结论成立。
【答案】：
（1）$BD$与$EF$互相平分。理由：通过证明$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$（$HL$）得到$BF = DE$，再证明$\triangle BFG\cong\triangle DEG$（$AAS$），得出$FG = EG$，$BG = DG$。
（2）上述结论成立。理由：通过证明$Rt\triangle ABF\cong Rt\triangle CDE$（$HL$）得到$BF = DE$，再证明$\triangle BFG\cong\triangle DEG$（$AAS$），得出$FG = EG$，$BG = DG$。