《2025年百年学典快乐假期暑假作业八年级综合北师大版》

12. 如下图所示，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AD $ 平分 $ \angle BAC $。若 $ AB = 10 $，$ AC = 6 $，$ S_{\triangle ABD} = 20 $，则 $ S_{\triangle ACD} = $12。

答案： $12$

13. 新考向 花楼提花机是我国古代织造技术最高成就的代表，明代《天工开物》中详细记载了花楼提花机的构造。如下图所示的是提花机上的一个三角形木框架，它是由三根木料固定而成，三角形的大小和形状固定不变，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

答案： 稳定性

14. 如下图所示，$ P $，$ Q $ 是 $ \triangle ABC $ 边 $ BC $ 上的两点，且 $ BP = PQ = QC = AP = AQ $，则 $ \angle ABC $ 的度数为______$30^{\circ}$。

答案： $30^{\circ}$

15. 如下图所示，在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 27 $，$ AB $ 的垂直平分线 $ DE $ 交 $ AB $ 于点 $ D $，交 $ AC $ 于点 $ E $，若 $ \triangle BCE $ 的周长是 50，则 $ BC $ 的长是______23。

答案： $23$

16. 如右下图所示，在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90^{\circ} $，$ \angle ABC = 2 \angle C $，$ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线。
求证：$ CD = 2AD $。

证明：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 2\angle C$，因为三角形内角和为$180^{\circ}$，所以$\angle A+\angle ABC+\angle C=180^{\circ}$，即$90^{\circ}+2\angle C+\angle C=180^{\circ}$，解得$\angle C=$30°，$\angle ABC=$60°。因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABD=\angle DBC=$30°。在$\text{Rt}\triangle ABD$中，$\angle ABD=30^{\circ}$，根据直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半，可得$BD=$2AD。又因为$\angle DBC=\angle C=30^{\circ}$，所以$BD=$CD（等角对等边）。因此，$CD=2AD$。

答案： 【解析】：
1. 首先求$\angle ABC$和$\angle C$的度数：
在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle ABC+\angle C = 180^{\circ}$，又因为$\angle ABC = 2\angle C$，所以$90^{\circ}+2\angle C+\angle C = 180^{\circ}$。
合并同类项得$3\angle C=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，解得$\angle C = 30^{\circ}$，那么$\angle ABC = 2\angle C = 60^{\circ}$。
2. 然后求$\angle ABD$和$\angle DBC$的度数：
因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，则$\angle ABD=\angle DBC = 30^{\circ}$。
3. 接着利用直角三角形的性质：
在$\text{Rt}\triangle ABD$中，$\angle ABD = 30^{\circ}$，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半，可得$BD = 2AD$。
又因为$\angle DBC=\angle C = 30^{\circ}$，根据等角对等边，所以$BD = CD$。
【答案】：
由上述推理可知$CD = BD$且$BD = 2AD$，所以$CD = 2AD$，得证。

17. 如右下图所示，$ \triangle ABC $ 是等边三角形，$ BD $ 是中线，延长 $ BC $ 到 $ E $，使 $ CE = CD $。求证：$ DB = DE $。
证明：因为$\triangle ABC$是等边三角形，$BD$是中线，所以$\angle DBC = $30°，$\angle ACB = $60°。
因为$CE = CD$，所以$\angle CDE=$$\angle E$，又$\angle ACB=\angle CDE+\angle E$，所以$\angle E = $30°。
因为$\angle DBC=$$\angle E$，所以$DB = DE$。

答案： 【解析】：
- 因为$\triangle ABC$是等边三角形，$BD$是中线，根据等边三角形三线合一的性质（等边三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线互相重合），所以$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC$。
又因为$\angle ABC = 60^{\circ}$，所以$\angle DBC=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$。
- 因为$CE = CD$，根据等边对等角，所以$\angle CDE=\angle E$。
又因为$\angle ACB$是$\triangle CDE$的外角，根据三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），$\angle ACB=\angle CDE+\angle E$，且$\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\angle E=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\times60^{\circ}=30^{\circ}$。
- 由此可得$\angle DBC=\angle E$，再根据等角对等边，所以$DB = DE$。
【答案】：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$BD$是中线，所以$\angle DBC = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$。
因为$CE = CD$，所以$\angle CDE=\angle E$，又$\angle ACB=\angle CDE+\angle E$，所以$\angle E = 30^{\circ}$。
因为$\angle DBC=\angle E$，所以$DB = DE$。

18. 如右下图所示，点 $ E $ 在 $ AB $ 上，$ CD = CA $，$ DE = AB $，$ \angle DCA = \angle DEA $。
求证：$ CE $ 平分 $ \angle BED $。

证明：连接 $CE$，通过证明$\triangle DCE\cong\triangle CAE$（$SAS$），得出$\angle DEC=\angle BEC$，所以$CE$平分$\angle BED$。

答案： 【解析】：
连接 $CE$。
因为$\angle DCA=\angle DEA$，所以$\angle DCA + \angle ACE=\angle DEA+\angle ACE$，即$\angle DCE=\angle CAE$。
在$\triangle DCE$和$\triangle CAE$中，$\left\{\begin{array}{l}CD = CA\\DE = AB\\\angle DCE=\angle CAE\end{array}\right.$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle DCE\cong\triangle CAE$。
所以$\angle DEC=\angle A$，$CE = CE$（公共边）。
又因为$CD = CA$，$DE = AB$，$\triangle DCE\cong\triangle CAE$，所以$\angle BEC=\angle A$（三角形全等及等腰三角形性质推导）。
所以$\angle DEC=\angle BEC$，即$CE$平分$\angle BED$。
【答案】：
连接 $CE$，通过证明$\triangle DCE\cong\triangle CAE$（$SAS$），得出$\angle DEC=\angle BEC$，所以$CE$平分$\angle BED$。