《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

11. 计算：
(1)$(2\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}}) × (\frac{1}{2}\sqrt{8} + \sqrt{\frac{2}{3}})$。
(2)$(\sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{6} - \sqrt{7})$。

答案： 解析
(1)原式$=2\sqrt {\frac {3}{2}}×\frac {1}{2}\sqrt {8}+2\sqrt {\frac {3}{2}}×\sqrt {\frac {2}{3}}-\sqrt {\frac {1}{2}}×\frac {1}{2}\sqrt {8}-\sqrt {\frac {1}{2}}×\sqrt {\frac {2}{3}}=2×\frac {1}{2}×\sqrt {\frac {3}{2}×8}+2\sqrt {\frac {3}{2}×\frac {2}{3}}-\frac {1}{2}\sqrt {\frac {1}{2}×8}-\sqrt {\frac {1}{2}×\frac {2}{3}}=\sqrt {12}+2-\frac {1}{2}×2-\sqrt {\frac {1}{3}}=2\sqrt {3}+2-1-\frac {\sqrt {3}}{3}=1+\frac {5\sqrt {3}}{3}$.
(2)原式$=[(\sqrt {5}-\sqrt {7})+\sqrt {6}]×[(\sqrt {5}-\sqrt {7})-\sqrt {6}]=(\sqrt {5}-\sqrt {7})^{2}-(\sqrt {6})^{2}=5-2\sqrt {5}×\sqrt {7}+7-6=6-2\sqrt {35}$.

12. 已知$x = \sqrt{10} - 3$,$y = \sqrt{10} + 3$,求下列式子的值：
(1)$\frac{x}{y}$。$19-6\sqrt{10}$
(2)$x^2 + xy + y^2$。39

答案： 解析
(1)$\frac {x}{y}=\frac {\sqrt {10}-3}{\sqrt {10}+3}=\frac {(\sqrt {10}-3)(\sqrt {10}-3)}{(\sqrt {10}+3)(\sqrt {10}-3)}=19-6\sqrt {10}$.
(2)$x^{2}+xy+y^{2}=(x+y)^{2}-xy=(\sqrt {10}-3+\sqrt {10}+3)^{2}-(\sqrt {10}-3)(\sqrt {10}+3)=40-1=39$.

13. 如图,某小区有一块矩形空地$ABCD$,矩形空地的长$BC为\sqrt{72}m$,宽$AB为\sqrt{32}m$,现要在空地中间修建一个小矩形花坛(阴影部分),小矩形花坛的长为$(\sqrt{10} + 1)m$,宽为$(\sqrt{10} - 1)m$。
(1)求矩形空地$ABCD$的周长。(结果化为最简二次根式)
答：矩形空地$ABCD$的周长为$20\sqrt{2}$$m$。
(2)除去修建花坛的地方,其他空地全修建成通道,通道上要铺造价为6元$/m^2$的地砖,若要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元？
答：购买地砖需要花费234元。

答案： 解析
(1)$(\sqrt {72}+\sqrt {32})×2=(6\sqrt {2}+4\sqrt {2})×2=10\sqrt {2}×2=20\sqrt {2}(m)$.
答：矩形空地$ABCD$的周长为$20\sqrt {2}m$.
(2)$\sqrt {72}×\sqrt {32}-(\sqrt {10}+1)×(\sqrt {10}-1)=6\sqrt {2}×4\sqrt {2}-(10-1)=48-9=39(m^{2})$.
$6×39=234$(元).
答：购买地砖需要花费234元.

14. 观察下列等式,解答问题。
第1个等式：$\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
第2个等式：$\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
第3个等式：$\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}}$；
……
(1)请直接写出第5个等式：____$\sqrt {5+\frac {1}{7}}=6\sqrt {\frac {1}{7}}$(不用化简)。
(2)根据上述规律猜想第$n$个等式($n$为正整数),并给予证明。
(3)利用(2)的结论计算：
$\sqrt{2023 + \frac{1}{2025}} × \sqrt{2025} - \sqrt{2022 + \frac{1}{2024}} × \sqrt{2024}$。
1

答案： 解析
(1)$\sqrt {5+\frac {1}{7}}=6\sqrt {\frac {1}{7}}$.
(2)猜想：$\sqrt {n+\frac {1}{n+2}}=(n+1)\sqrt {\frac {1}{n+2}}$($n$为正整数).
证明：左边$=\sqrt {\frac {n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt {\frac {(n+1)^{2}}{n+2}}$，
$\because n$为正整数，$\therefore $左边$=(n+1)\sqrt {\frac {1}{n+2}}=$右边，
$\therefore $猜想成立.
(3)原式$=2024×\sqrt {\frac {1}{2025}×2025}-2023×\sqrt {\frac {1}{2024}×2024}=2024-2023=1$.