《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

1.「2025河南郑州十九中期中」下列方程是一元二次方程的是 (B)
A. $x^{2}-2y= 0$
B. $2-x^{2}= 0$
C. $2x= 1$
D. $\frac{2}{x^{2}}+x= 2$

答案： B $x^{2}-2y = 0$ 中有两个未知数，不是一元二次方程；$2 - x^{2} = 0$ 是一元二次方程；$2x = 1$ 是一元一次方程；$\frac{2}{x^{2}}+x = 2$ 是分式方程。

2.「2024内蒙古呼和浩特中考」我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步?”其大意如下:矩形面积是864平方步,其中宽与长的和为60步,问宽和长各几步? 若设长为x步,则下列符合题意的方程是 (C)
A. $x \cdot \frac{60-x}{2}= 864$
B. $x(60+x)= 864$
C. $x(60-x)= 864$
D. $x(30-x)= 864$

答案： C $\because$ 长为 $x$ 步，$\therefore$ 宽为 $(60 - x)$ 步，$\therefore$ 可列方程为 $x(60 - x) = 864$。

3.「2025河南洛阳宜阳期中」若m是方程$x^{2}-x-1= 0$的一个根,则$-2m^{2}+2m$的值为 (D)
A. 3
B. 0
C. 2
D. -2

答案： D $\because m$ 是方程 $x^{2}-x - 1 = 0$ 的一个根，$\therefore m^{2}-m - 1 = 0$，$\therefore m^{2}-m = 1$，$\therefore -2m^{2}+2m = -2(m^{2}-m) = -2\times1 = -2$。

4.「2025广东江门恩平期末」若关于x的一元二次方程$(a-2)x^{2}-4x+1= 0$有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 (C)
A. $a＜2$
B. $a＜5且a≠2$
C. $a＜6且a≠2$
D. $a＜6$

答案： C 由题意得 $\Delta = (-4)^{2}-4(a - 2) ＞ 0$ 且 $a - 2\neq0$，$\therefore a ＜ 6$ 且 $a\neq2$。

5.「2023四川乐山中考」若关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+m= 0的两根为x_{1}$、$x_{2}$,且$x_{1}= 3x_{2}$,则m的值为 (C)
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16

答案： C $\because$ 一元二次方程 $x^{2}-8x + m = 0$ 的两根为 $x_{1}$、$x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2} = 8$，$\because x_{1} = 3x_{2}$，$\therefore x_{1} = 6$，$x_{2} = 2$，$\therefore x_{1}x_{2} = m = 6\times2 = 12$。

6.「2024内蒙古赤峰中考」等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2}-10x+21= 0$的两个根,则这个三角形的周长为 (C)
A. 17或13
B. 13或21
C. 17
D. 13

答案： C 分解因式得 $(x - 3)(x - 7) = 0$，解得 $x_{1} = 3$，$x_{2} = 7$，分情况求解如下：①当等腰三角形的边长是 $3$、$3$、$7$ 时，$3 + 3 ＜ 7$，不符合三角形的三边关系，舍去；②当等腰三角形的边长是 $7$、$7$、$3$ 时，符合三角形的三边关系，周长 $= 7 + 7 + 3 = 17$。

7.跨物理受力平衡如图,小球静止悬浮于液体中(即$F_{浮}= G$),若$F_{浮}= 20N$,小球质量m为$(x^{2}+x)kg$,$g= 10N/kg$,则x的值为 (1)
A. 1
B. 4
C. -2或1
D. -5或4

答案： C $\because$ 小球静止悬浮于液体中，$\therefore F_{浮}=G = mg$，$\therefore 10(x^{2}+x) = 20$，$\therefore x^{2}+x - 2 = 0$，$\therefore (x + 2)(x - 1) = 0$，解得 $x_{1} = -2$，$x_{2} = 1$，即 $x$ 的值为 $-2$ 或 $1$。

8.若关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(ac≠0)$有一根为2024,则关于x的一元二次方程$c(x-1)^{2}+b(x-1)+a= 0(ac≠0)$必有一根为 ($\frac{2025}{2024}$)
A. $\frac{2025}{2024}$
B. $-\frac{2025}{2024}$
C. 2025
D. -2024

答案： A 把 $x = 2024$ 代入一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 得 $2024^{2}a + 2024b + c = 0$，两边同时除以 $2024^{2}$ 得 $a+\frac{1}{2024}b+\frac{1}{2024^{2}}c = 0$，即 $\frac{1}{2024^{2}}c+\frac{1}{2024}b + a = 0$。令 $y = x - 1$，$\therefore$ 方程 $c(x - 1)^{2}+b(x - 1)+a = 0$ 可化为 $cy^{2}+by + a = 0(ac\neq0)$，$\therefore$ 该方程有一根为 $\frac{1}{2024}$，$\therefore x - 1 = \frac{1}{2024}$，解得 $x = \frac{2025}{2024}$。

9.「2024广东中考」若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+c= 0$有两个相等的实数根,则$c=$1.

答案： 答案 1
解析 $\because$ 一元二次方程 $x^{2}+2x + c = 0$ 有两个相等的实数根，$\therefore\Delta = 0$，即 $4 - 4c = 0$，解得 $c = 1$。

10.「2024山东烟台中考」若一元二次方程$2x^{2}-4x-1= 0$的两根为m,n,则$3m^{2}-4m+n^{2}$的值为6.

答案： 答案 6
解析 $\because$ 一元二次方程 $2x^{2}-4x - 1 = 0$ 的两根为 $m$，$n$，$\therefore 2m^{2}-4m = 1$，$m + n = -\frac{-4}{2} = 2$，$mn = -\frac{1}{2}$，$\therefore 3m^{2}-4m + n^{2}=2m^{2}-4m + m^{2}+n^{2}=1+(m + n)^{2}-2mn = 1 + 2^{2}-2\times(-\frac{1}{2}) = 6$。

11.某电商在某平台上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售,如果按每件60元销售,每天可卖出20件.通过市场调查发现,每件小商品的售价每降低1元,日销售量增加2件.若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,则每件售价应定为50元.

答案： 答案 50
解析 设每件售价定为 $x$ 元，根据题意得 $(x - 40)\cdot[20 + 2(60 - x)]=(60 - 40)\times20$，解得 $x_{1} = 50$，$x_{2} = 60$，$\because$ 商家想尽快销售完该款商品，$\therefore$ 每件售价应定为 $50$ 元。

12.新考向数学文化「2025山西临汾洪洞期中」《周髀算经》中有一种几何方法可以得到形如$x(x+5)= 24$的方程的正数解,方法如下:如图,将四个长为$x+5$,宽为x的长方形纸片(面积均为24)拼成一个大正方形,于是大正方形的面积为$24×4+25= 121$,边长为11,故得到$x(x+5)= 24的正数解为x= \frac{11-5}{2}= 3$.小明按此方法解关于x的方程$x^{2}+mx-n= 0(m＞0)$时,构造出同样的图形.若大正方形的面积为12,小正方形的面积为4,则方程的正数解为____$\sqrt{3}-1$.

答案： 答案 $\sqrt{3}-1$
解析 $\because x^{2}+mx - n = 0(m ＞ 0)$，$\therefore x(x + m) = n$，$\therefore$ 长方形的长为 $x + m$，宽为 $x$，$\therefore$ 小正方形的边长为 $x + m - x = m = \sqrt{4} = 2$，大正方形的边长为 $x + m + x = 2x + m = \sqrt{12}$，$\therefore x = \frac{\sqrt{12}-2}{2}=\sqrt{3}-1$。