《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

1. 「2023 天津中考」若 $ x_1 $,$ x_2 $ 是方程 $ x^2 - 6x - 7 = 0 $ 的两个根,则(A)
A. $ x_1 + x_2 = 6 $
B. $ x_1 + x_2 = -6 $
C. $ x_1 x_2 = \frac{7}{6} $
D. $ x_1 x_2 = 7 $

答案： A $\because x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-6x-7=0$的两个根，$\therefore x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=-7$。

2. 「2025 四川遂宁射洪中学教育联盟期中」已知实数 $ x_1 $,$ x_2 $ 满足 $ x_1 + x_2 = 9 $,$ x_1 x_2 = 20 $,则以 $ x_1 $,$ x_2 $ 为根的一元二次方程可能是(A)
A. $ x^2 - 9x + 20 = 0 $
B. $ x^2 + 9x + 20 = 0 $
C. $ x^2 + 9x - 20 = 0 $
D. $ x^2 - 9x - 20 = 0 $

答案： A 设以$x_{1},x_{2}$为根的一元二次方程是$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$，$\because$实数$x_{1}$、$x_{2}$满足$x_{1}+x_{2}=9,x_{1}x_{2}=20$，$\therefore -\frac{b}{a}=9,\frac{c}{a}=20$，$\therefore b=-9a,c=20a$，$\therefore ax^{2}-9ax+20a=0$，当$a=1$时，方程可化为$x^{2}-9x+20=0$。

3. 多解法 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 3x^2 - 2x + m = 0 $ 有两个根,其中一个根为 $ x = 1 $,则这两根之积为($-\frac{1}{3}$)
A. $ \frac{1}{3} $
B. $ \frac{2}{3} $
C. $ 1 $
D. $ -\frac{1}{3} $

答案： 【解法一】利用方程解的定义：$\because$方程的其中一个根是$x=1$，$\therefore 3-2+m=0$，解得$m=-1$，$\therefore$两根之积为$-\frac{1}{3}$。
【解法二】利用根与系数的关系：设另一个实数根为$x_{2}$，依题意可得$1+x_{2}=\frac{2}{3}$，解得$x_{2}=-\frac{1}{3}$，$\therefore$两根之积为$-\frac{1}{3}$。

4. 「2024 四川乐山中考」若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x + p = 0 $ 的两根为 $ x_1 $、$ x_2 $,且 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 3 $,则 $ p $ 的值为($-\dfrac{2}{3}$)
A. $ -\frac{2}{3} $
B. $ \frac{2}{3} $
C. $ -6 $
D. $ 6 $

答案： $\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x+p=0$的两根为$x_{1}$、$x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=-2,x_{1}x_{2}=p$，$\because \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=3$，$\therefore \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=3$，即$\frac{-2}{p}=3$，解得$p=-\frac{2}{3}$。

5. 「2025 福建泉州石狮期中」已知 $ a $,$ b $ 是方程 $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ 的两个根,则一组数据 $ 4 $,$ a $,$ 6 $,$ b $,$ 7 $ 的平均数是______4。

答案： 答案 4
解析 $\because a,b$是方程$x^{2}-3x+2=0$的两个根，$\therefore a+b=3$，$\therefore 4,a,6,b,7$的平均数$=\frac{4+a+6+b+7}{5}=\frac{20}{5}=4$。

6. 新 代数推理 「2024 四川遂宁中考」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (m + 2)x + m - 1 = 0 $。
(1) 求证：无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根。
证明：$\because a=1,b=-(m+2),c=m-1$，$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8$。
$\because m^{2}\geq0$，$\therefore \Delta =m^{2}+8＞0$。$\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) 如果方程的两个实数根为 $ x_1 $,$ x_2 $,且 $ x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2 = 9 $,求 $ m $ 的值。
解：$\because$方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=m+2,x_{1}x_{2}=m-1$，$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=(m+2)^{2}-3(m-1)$，$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，$\therefore (m+2)^{2}-3(m-1)=9$，整理得$m^{2}+m-2=0$，解得$m_{1}=-2,m_{2}=1$，$\therefore m$的值为$-2$或$1$。

答案： 解析
(1) 证明：$\because a=1,b=-(m+2),c=m-1$，$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=[-(m+2)]^{2}-4\times1\times(m-1)=m^{2}+4m+4-4m+4=m^{2}+8$。
$\because m^{2}\geq0$，$\therefore \Delta =m^{2}+8＞0$。$\therefore$无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2) $\because$方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=m+2,x_{1}x_{2}=m-1$，$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=(m+2)^{2}-3(m-1)$，$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$，$\therefore (m+2)^{2}-3(m-1)=9$，整理得$m^{2}+m-2=0$，解得$m_{1}=-2,m_{2}=1$，$\therefore m$的值为$-2$或$1$。

7. 「2025 重庆北碚二模,」关于 $ x $ 的方程 $ (x - 1)(x + 2) = p^2 $($ p $ 为常数)的根的情况,下列结论正确的是(C)
A. 两个正根
B. 两个负根
C. 一个正根,一个负根
D. 无实数根

答案： C $\because (x-1)(x+2)=p^{2}$，$\therefore x^{2}+x-2-p^{2}=0$，$\therefore b^{2}-4ac=1+8+4p^{2}=9+4p^{2}＞0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根，$\because$方程的两个根的积为$-2-p^{2}＜0$，$\therefore$该方程有一个正根，一个负根。

8. 「2023 四川泸州中考,」若一个菱形的两条对角线长分别是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 10x + m = 0 $ 的两个实数根,且其面积为 $ 11 $,则该菱形的边长为(C)
A. $ \sqrt{3} $
B. $ 2\sqrt{3} $
C. $ \sqrt{14} $
D. $ 2\sqrt{14} $

答案： C 设该菱形的两条对角线长分别为$a,b$，依题意可得$\frac{1}{2}ab=11$，即$ab=22$，$\because a+b=10$，$\therefore$菱形的边长$=\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{b}{2})^{2}}=\frac{1}{2}\times\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{1}{2}\times\sqrt{(a+b)^{2}-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{100-44}=\frac{1}{2}\sqrt{56}=\sqrt{14}$。

9. 学科 整体思想 「2024 山东德州中考,」已知 $ a $ 和 $ b $ 是方程 $ x^2 + 2024x - 4 = 0 $ 的两个解,则 $ a^2 + 2023a - b $ 的值为______2028。

答案： 答案 2028
解析 $\because a$和$b$是方程$x^{2}+2024x-4=0$的两个解，$\therefore a^{2}+2024a-4=0,a+b=-2024$，$\therefore a^{2}+2023a-b=a^{2}+2024a-4-a-b+4=0-(-2024)+4=2028$。

10. 学科 易错题 「2023 湖南岳阳中考,」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根 $ x_1 $、$ x_2 $,且 $ x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 2 $,则实数 $ m = $______3。

答案： 答案 3
解析 $\because$原方程有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta=(2m)^{2}-4\times1\times(m^{2}-m+2)＞0$，$\therefore m＞2$。$\because x_{1}$、$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m+2=0$的两个实数根，$\therefore x_{1}+x_{2}=-2m,x_{1}x_{2}=m^{2}-m+2$，$\because x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=2$，$\therefore -2m+m^{2}-m+2=2$，解得$m_{1}=0$（不符合题意，舍去），$m_{2}=3$，$\therefore$实数$m=3$。
易错警示 利用根与系数的关系求方程中未知参数的值时，未知参数的值应使根的判别式为非负数，即保证两根存在。

11. 「2025 海南五指山一模,」已知 $ xy \neq 1 $,且 $ x^2 + 20x + 10 = 0 $,$ 10y^2 + 20y + 1 = 0 $,则 $ \frac{x}{y} $ 的值为______10。

答案： 答案 10
解析 $\because 10y^{2}+20y+1=0$，$\therefore y\neq0$，将$10y^{2}+20y+1=0$两边同时除以$y^{2}$，得$(\frac{1}{y})^{2}+20\cdot\frac{1}{y}+10=0$。
又$\because x^{2}+20x+10=0,xy\neq1$，$\therefore x,\frac{1}{y}$可看成方程$t^{2}+20t+10=0$的两根，$\therefore x\cdot\frac{1}{y}=10$，即$\frac{x}{y}$的值为$10$。

12. 新 新定义试题 「2025 吉林长春宽城二模,」如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 有两个实数根,且其中一个根比另一个根大 $ 1 $,那么称这样的方程为“邻根方程”。已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (m - 1)x - m = 0 $($ m $ 是常数)是“邻根方程”,则 $ m $ 的值为0或-2。

答案： 答案 0或-2
解析 设方程的两个根分别为$t,t+1$，根据根与系数的关系得$t+t+1=m-1,t(t+1)=-m$，两式相加得$2t+1+t^{2}+t=-1$，整理得$t^{2}+3t+2=0$，解得$t_{1}=-1,t_{2}=-2$，分情况求解如下：
①当$t=-1$时，$-1-1+1=m-1$，解得$m=0$；
②当$t=-2$时，$-2-2+1=m-1$，解得$m=-2$。
综上所述，$m$的值为$0$或$-2$。