《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

1. 「2023 吉林中考」一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 5 x + 2 = 0 $ 根的判别式的值是 (C)
A. 33
B. 23
C. 17
D. $ \sqrt { 17 } $

答案： C $\because a = 1$，$b = -5$，$c = 2$，$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (-5)^{2} - 4×1×2 = 25 - 8 = 17$。

2. 「2024 四川自贡中考」关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + m x - 2 = 0 $ 的根的情况是 (A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A 关于$x$的方程$x^{2} + mx - 2 = 0$中，$a = 1$，$b = m$，$c = -2$，$\therefore \Delta = b^{2} - 4ac = m^{2} + 8 ＞ 0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根。

3. 「2024 黑龙江龙东地区中考」关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( m - 2 ) x ^ { 2 } + 4 x + 2 = 0 $ 有两个实数根, 则 $ m $ 的取值范围是 (D)
A. $ m \leq 4 $
B. $ m \geq 4 $
C. $ m \geq - 4 $ 且 $ m \neq 2 $
D. $ m \leq 4 $ 且 $ m \neq 2 $

答案： D 根据题意得$\begin{cases}16 - 4(m - 2)×2 \geq 0\\m - 2 \neq 0\end{cases}$，解得$m \leq 4$且$m \neq 2$。

4. 「2023 上海中考」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + 6 x + 1 = 0 $ 没有实数根, 那么 $ a $ 的取值范围是$a ＞ 9$.

答案： 答案 $a ＞ 9$
解析 $\because$关于$x$的一元二次方程$ax^{2} + 6x + 1 = 0$没有实数根，$\therefore \Delta ＜ 0$，即$6^{2} - 4a ＜ 0$，解得$a ＞ 9$。

5. 「2024 江苏南通中考」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + k = 0 $ 有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的 $ k $ 的值:-1.

答案： 答案 $-1$（答案不唯一）
解析 $\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2} - 2x + k = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta = (-2)^{2} - 4k = 4 - 4k ＞ 0$，解得$k ＜ 1$，故$k$的值可以为$-1$（答案不唯一）。

6. 「2025 河南鹤壁二模」小刚在解关于 $ x $ 的方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 时, 只抄对了 $ a = 1, b = 4 $, 解出其中一个根是 $ x = - 1 $. 他核对时发现所抄的 $ c $ 比原方程的 $ c $ 值小 2, 则原方程的根的情况是 (A)
A. 没有实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 $ x = - 1 $
D. 有两个相等的实数根

答案： A $\because$小刚只抄对了$a = 1$，$b = 4$，解出其中一个根是$x = -1$，$\therefore (-1)^{2} - 4 + c = 0$，解得$c = 3$，$\therefore$原方程中$c = 5$，则$b^{2} - 4ac = 16 - 4×1×5 = -4 ＜ 0$，$\therefore$原方程没有实数根。

7. 「2023 广东广州中考」已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( 2 k - 2 ) x + k ^ { 2 } - 1 = 0 $ 有两个实数根, 则 $ \sqrt { ( k - 1 ) ^ { 2 } } - ( \sqrt { 2 - k } ) ^ { 2 } $ 的化简结果是 (-1)
A. -1
B. 1
C. $ - 1 - 2 k $
D. $ 2 k - 3 $

答案： A $\because$关于$x$的方程$x^{2} - (2k - 2)x + k^{2} - 1 = 0$有两个实数根，$\therefore \Delta = [-(2k - 2)]^{2} - 4×1×(k^{2} - 1) \geq 0$，整理得$-8k + 8 \geq 0$，解得$k \leq 1$，$\therefore k - 1 \leq 0$，$2 - k ＞ 0$，$\therefore \sqrt{(k - 1)^{2}} - (\sqrt{2 - k})^{2} = -(k - 1) - (2 - k) = -1$。

8. 「2025 甘肃天水麦积二模」在平面直角坐标系中, 若直线 $ y = - x + m $ 不经过第一象限, 则关于 $ x $ 的方程 $ m x ^ { 2 } + x + 1 = 0 $ 的实数根的个数为1或2.

答案： 答案 $1$或$2$
解析 $\because$直线$y = -x + m$不经过第一象限，$\therefore m \leq 0$，分情况求解如下：
(1)当$m = 0$时，关于$x$的方程$mx^{2} + x + 1 = 0$是一元一次方程，只有一个实数根；
(2)当$m ＜ 0$时，关于$x$的方程$mx^{2} + x + 1 = 0$是一元二次方程，且$\Delta = 1^{2} - 4m ＞ 0$，$\therefore$有两个不相等的实数根。综上所述，关于$x$的方程$mx^{2} + x + 1 = 0$的实数根的个数为$1$或$2$。

9. 「2025 四川资阳二模」如果关于 $ x $ 的方程 $ a x ^ { 2 } + 4 x - 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根, 且关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac { 1 } { 2 - x } - \frac { 1 - a x } { x - 2 } = 2 $ 有正数解, 求符合条件的整数 $ a $ 的值.-1

答案： 解析 $\because$方程$ax^{2} + 4x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore a \neq 0$且$\Delta = 4^{2} - 4·a·(-2) ＞ 0$，解得$a ＞ -2$且$a \neq 0$。将分式方程去分母得$-1 - (1 - ax) = 2(x - 2)$，解得$x = -\frac{2}{a - 2}$，$\because$分式方程$\frac{1}{2 - x} - \frac{1 - ax}{x - 2} = 2$有正数解，$\therefore -\frac{2}{a - 2} ＞ 0$且$-\frac{2}{a - 2} \neq 2$，解得$a ＜ 2$且$a \neq 1$，$\therefore a$的取值范围为$-2 ＜ a ＜ 2$且$a \neq 0$，$a \neq 1$，$\therefore$符合条件的整数$a$的值是$-1$。

10. 「2024 重庆江津实验中学一模」设 $ m $ 为整数, 且 $ 4 ＜ m ＜ 40 $, 方程 $ x ^ { 2 } - 2 ( 2 m - 3 ) x + 4 m ^ { 2 } - 14 m + 8 = 0 $ 有两个不相等的整数根, 求 $ m $ 的值及方程的根.

答案： 解析 解方程$x^{2} - 2(2m - 3)x + 4m^{2} - 14m + 8 = 0$，得$x = \frac{2(2m - 3) \pm \sqrt{[-2(2m - 3)]^{2} - 4×1×(4m^{2} - 14m + 8)}}{2} = 2m - 3 \pm \sqrt{2m + 1}$，$\because$原方程有两个不相等的整数根，$\therefore 2m + 1$能开得尽方，$\because m$为整数，且$4 ＜ m ＜ 40$，$2m + 1$为奇数，$\therefore 2m + 1 = 25$或$49$，解得$m = 12$或$24$。当$m = 12$时，$x = 24 - 3 \pm \sqrt{2×12 + 1} = 21 \pm 5$，$\therefore x_{1} = 26$，$x_{2} = 16$；当$m = 24$时，$x = 48 - 3 \pm \sqrt{2×24 + 1} = 45 \pm 7$，$x_{1} = 52$，$x_{2} = 38$。