《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

11.「2024吉林长春宽城二模,」小丽与小霞两位同学解方程$3(x-3)= (x-3)^{2}$的过程如下：
小丽：
方程两边同除以$(x-3)$,得$3= x-3$,
解得$x= 6$
小霞：
移项,得$3(x-3)-(x-3)^{2}= 0$,
提取公因式,得$(x-3)\cdot (3-x-3)= 0$,
所以$x-3= 0或3-x-3= 0$,
解得$x_{1}= 3,x_{2}= 0$
(1)你认为她们的解法是否正确？若正确,请在框内打“√”；若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程.××
正确的解答过程如下：移项，得$3(x - 3) - (x - 3)^2 = 0$，提取公因式，得$(x - 3)(3 - x + 3) = 0$，所以$x - 3 = 0$或$6 - x = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 6$。
(2)请结合上述题目总结形如$ax^{2}= bx(a≠0)$的一元二次方程的一般解法.移项，得$ax^2 - bx = 0$，提取公因式，得$x(ax - b) = 0$，所以$x = 0$或$ax - b = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{b}{a}$

答案： 解析
(1) 她们的解法都不正确，正确的解答过程如下：移项，得 $ 3(x - 3) - (x - 3)^2 = 0 $，提取公因式，得 $ (x - 3)(3 - x + 3) = 0 $，所以 $ x - 3 = 0 $ 或 $ 6 - x = 0 $，解得 $ x_1 = 3 $，$ x_2 = 6 $。
(2) 形如 $ ax^2 = bx(a ≠ 0) $ 的一元二次方程的一般解法：移项，得 $ ax^2 - bx = 0 $，提取公因式，得 $ x(ax - b) = 0 $，所以 $ x = 0 $ 或 $ ax - b = 0 $，解得 $ x_1 = 0 $，$ x_2 = \frac{b}{a} $。

12.规律探究题「2025四川巴中二模,」将一些棋子按如图所示的方式摆放：

第1个图中有6个棋子,第2个图中有10个棋子,第3个图中有16个棋子,……,按此规律依次递增.
(1)第5个图中有34个棋子.
(2)第n个图中有n²+n+4个棋子.
(3)如果第n个图中有114个棋子,求出n的值.10

答案： 解析
(1) 第 5 个图中有 $ 4 + 5×(5 + 1) = 4 + 30 = 34 $ 个棋子。
(2) 第 $ n $ 个图中有 $ 4 + n(n + 1) = (n^2 + n + 4) $ 个棋子。
(3) 由题意得 $ n^2 + n + 4 = 114 $，整理得 $ (n - 10)(n + 11) = 0 $，解得 $ n = 10 $ 或 $ n = -11 $（不合题意，舍去），
∴ $ n $ 的值为 10。

13.运算能力「2025四川资阳雁江期中改编」我们知道可以用公式$x^{2}+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)$来分解因式,从而解一元二次方程.
例如：$x^{2}+6x+8= 0$,方程分解得$(x + 2)(x + 4)$= 0,$x^{2}-7x-30= 0$,方程分解得$(x - 10)(x + 3)$= 0.
爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解.
例如：$3x^{2}-7x+2= 0$.
解：方程分解为$(x-2)(3x-1)= 0$,从而可以快速求出方程的解.

(1)补全题中空白部分的内容.
(2)请利用此方法解方程$4x^{2}-8x-5= 0$.
解：分解因式，得$(2x - 5)(2x + 1)$= 0，∴$2x - 5 = 0$或$2x + 1 = 0$，解得$x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -\frac{1}{2}$。
(3)请利用此方法解关于x的一元二次方程$3x^{2}-(6+a)x+2a= 0$.
解：分解因式，得$(3x - a)(x - 2)$= 0，∴$3x - a = 0$或$x - 2 = 0$，解得$x_1 = \frac{a}{3}$，$x_2 = 2$。

答案： 解析
(1) $ (x + 2)(x + 4) $；$ (x - 10)(x + 3) $。
(2) 分解因式，得 $ (2x - 5)(2x + 1) = 0 $，
∴ $ 2x - 5 = 0 $ 或 $ 2x + 1 = 0 $，解得 $ x_1 = \frac{5}{2} $，$ x_2 = -\frac{1}{2} $。
(3) 分解因式，得 $ (3x - a)(x - 2) = 0 $，
∴ $ 3x - a = 0 $ 或 $ x - 2 = 0 $，解得 $ x_1 = \frac{a}{3} $，$ x_2 = 2 $。