《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

8. 「2025 吉林长春九台二模」如图,四边形 ABCD、CDEF、EFGH 都是正方形,则$∠1 + ∠2 = $45°.

答案： 答案 45°
解析 设小正方形的边长为x，由勾股定理得$AC^{2}=x^{2}+x^{2}=2x^{2}$，
∴$AC=\sqrt{2}x$，
同理可得$AF=\sqrt{5}x$，$AG=\sqrt{10}x$。
∵$\frac{\sqrt{2}x}{2x}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{5}x}{\sqrt{10}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AC}{CG}=\frac{CF}{AC}=\frac{AF}{AG}$，
∴△ACF∽△GCA，
∴∠1 = ∠CAF。
∵∠ACB = ∠CAF + ∠2 = 45°，
∴∠1 + ∠2 = 45°。

9. 「2025 四川资阳乐至二模」一个钢筋三角形框架的三边长分别是 20 厘米,50 厘米,60 厘米,现在要做一个与其相似的钢筋三角形框架,但只有长为 30 厘米和 50 厘米的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截取两段(允许有余料)作为另两边,共有几种截法？

答案： 解析 易知只能以长为30cm的钢筋为一边，在长为50cm的钢筋上截取两段作为另两边。
设截取的两段长分别为xcm，ycm，其中x＜y。
由题意可得$\frac{20}{x}=\frac{50}{y}=\frac{60}{30}$①或$\frac{20}{x}=\frac{50}{30}=\frac{60}{y}$②。
由①得x = 10，y = 25，x + y = 35＜50，符合题意；
由②得x = 12，y = 36，x + y = 48＜50，符合题意。
综上可知，共有2种截法。

10. 如图,在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,D、$D'$分别是 AB、$A'B'$上一点,$\frac{AD}{AB}= \frac{A'D'}{A'B'}$.
(1)当$\frac{CD}{C'D'}= \frac{AC}{A'C'}= \frac{AB}{A'B'}$时,求证：$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$.
(2)当$\frac{CD}{C'D'}= \frac{AC}{A'C'}= \frac{BC}{B'C'}$时,判断$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$是否相似,并说明理由.

答案：
解析
(1) 证明：
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∵$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∴$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，
∴△ADC∽△A'D'C'，
∴∠A = ∠A'，
∵$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'。
(2) △ABC∽△A'B'C'，理由如下：如图，过点D，D'分别作DE//BC，D'E'//B'C'，DE交AC于E，D'E'交A'C'于E'。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，同理，$\frac{A'D'}{A'B'}=\frac{D'E'}{B'C'}=\frac{A'E'}{A'C'}$，
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{A'D'}{A'B'}$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{D'E'}{B'C'}$，
∴$\frac{DE}{D'E'}=\frac{BC}{B'C'}$，同理，$\frac{AE}{AC}=\frac{A'E'}{A'C'}$，
∴$\frac{AC - AE}{AC}=\frac{A'C' - A'E'}{A'C'}$，即$\frac{EC}{AC}=\frac{E'C'}{A'C'}$，
∴$\frac{EC}{E'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，
∵$\frac{CD}{C'D'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，
∴$\frac{CD}{C'D'}=\frac{EC}{E'C'}=\frac{DE}{D'E'}$，
∴△DCE∽△D'C'E'，
∴∠CED = ∠C'E'D'，
∵DE//BC，
∴∠CED + ∠ACB = 180°，同理，∠C'E'D' + ∠A'C'B' = 180°，
∴∠ACB = ∠A'C'B'，
∵$\frac{AC}{A'C'}=\frac{CB}{C'B'}$，
∴△ABC∽△A'B'C'。