《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

1. 计算$(5\sqrt{\frac{1}{5}} - 2\sqrt{45}) ÷ (-\sqrt{5})$的结果是(A)
A. 5
B. -5
C. 7
D. -75

答案： A 【解法一】原式$=(\sqrt {5}-6\sqrt {5})÷(-\sqrt {5})=-5\sqrt {5}÷(-\sqrt {5})=5$.
【解法二】原式$=(5\sqrt {\frac {1}{5}}-2\sqrt {45})×(-\frac {1}{\sqrt {5}})=5\sqrt {\frac {1}{5}}×(-\frac {1}{\sqrt {5}})-2\sqrt {45}×(-\frac {1}{\sqrt {5}})=-1+6=5$.

2. 估算$\sqrt{20} + \sqrt{5} × 2$的结果在(B)
A. 7和8之间
B. 8和9之间
C. 9和10之间
D. 10和11之间

答案： B $\sqrt {20}+\sqrt {5}×2=2\sqrt {5}+2\sqrt {5}=4\sqrt {5}=\sqrt {80},\because \sqrt {64}＜\sqrt {80}＜\sqrt {81},\therefore 8＜\sqrt {80}＜9$.

3. 若$\sqrt{24} - \sqrt{\frac{6}{5}} × \sqrt{45} = 2\sqrt{P} + Q\sqrt{6} = M(0 ＜ P ＜ 10)$,则$P + Q = $3,$M = $$-\sqrt{6}$。

答案： 答案 $3;-\sqrt {6}$
解析 $\because \sqrt {24}-\sqrt {\frac {6}{5}}×\sqrt {45}=2\sqrt {6}-3\sqrt {6}=2\sqrt {P}+Q\sqrt {6}$，$\therefore P=6,Q=-3,\therefore P+Q=6-3=3$.
$\because 2\sqrt {6}-3\sqrt {6}=-\sqrt {6},\therefore M=-\sqrt {6}$.

4. 我们把形如$a\sqrt{x} + b$($a$,$b$为有理数,$\sqrt{x}$为最简二次根式)的数叫做$\sqrt{x}$型无理数,如$3\sqrt{5} + 1是\sqrt{5}$型无理数,则$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$是$\sqrt{6}$型无理数。

答案： 答案 $\sqrt {6}$
解析 $(\sqrt {2}+\sqrt {3})^{2}=2+2\sqrt {6}+3=2\sqrt {6}+5$，即$(\sqrt {2}+\sqrt {3})^{2}$是$\sqrt {6}$型无理数.

5. 计算：
(1)$(\sqrt{12} - 3\sqrt{\frac{1}{2}}) × \sqrt{6} + \sqrt{27}$。
(2)$\frac{\sqrt{8} + \sqrt{18}}{\sqrt{2}} + (\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{6}}) ÷ \sqrt{3}$。
(3)$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (2\sqrt{3} - 3)^2$。

答案： 解析
(1)原式$=\sqrt {72}-3\sqrt {3}+\sqrt {27}=6\sqrt {2}-3\sqrt {3}+3\sqrt {3}=6\sqrt {2}$.
(2)原式$=\frac {2\sqrt {2}+3\sqrt {2}}{\sqrt {2}}+(2\sqrt {6}-\frac {1}{6}\sqrt {6})÷\sqrt {3}=5+\frac {11}{6}\sqrt {6}÷\sqrt {3}=5+\frac {11}{6}\sqrt {2}$.
(3)原式$=(\sqrt {5})^{2}-(\sqrt {2})^{2}+(2\sqrt {3})^{2}-2×3×2\sqrt {3}+3^{2}=5-2+12-12\sqrt {3}+9=24-12\sqrt {3}$.

6. 先化简,再求值：$(x - 2y)^2 + x(5y - x) - 4y^2$,其中$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$,$y = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
化简结果为$xy$，值为$1$。

答案： 解析 原式$=x^{2}+4y^{2}-4xy+5xy-x^{2}-4y^{2}=xy$，
当$x=\frac {\sqrt {5}+1}{2},y=\frac {\sqrt {5}-1}{2}$时，原式$=\frac {\sqrt {5}+1}{2}×\frac {\sqrt {5}-1}{2}=\frac {4}{4}=1$.

7. 化简$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^{2025} × (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2024}$的结果为(B)
A. $\sqrt{3} + \sqrt{2}$
B. $\sqrt{3} - \sqrt{2}$
C. 1
D. -1

答案： B 原式$=(\sqrt {3}-\sqrt {2})^{2024}×(\sqrt {3}+\sqrt {2})^{2024}×(\sqrt {3}-\sqrt {2})=[(\sqrt {3}-\sqrt {2})(\sqrt {3}+\sqrt {2})]^{2024}×(\sqrt {3}-\sqrt {2})=1^{2024}×(\sqrt {3}-\sqrt {2})=\sqrt {3}-\sqrt {2}$.

8. 若$3 - \sqrt{2}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,则代数式$(2 + \sqrt{2}a) \cdot b$的值是____2。

答案： 答案 2
解析 $\because 1＜\sqrt {2}＜2,\therefore 1＜3-\sqrt {2}＜2$，
$\because 3-\sqrt {2}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，
$\therefore a=1,b=3-\sqrt {2}-1=2-\sqrt {2}$，
$\therefore (2+\sqrt {2}a)\cdot b=(2+\sqrt {2})(2-\sqrt {2})=2$.
方法解读 确定二次根式的整数部分和小数部分的方法
确定二次根式的整数部分和小数部分一般用放缩法，即由$n≤\sqrt {a}≤n+1(a≥0,n$为整数)，可以确定$\sqrt {a}$的整数部分为$n$，小数部分为$\sqrt {a}-n$.

9. 按如图所示的程序计算,若开始输入的$n的值为\sqrt{2}$,则输出的结果是$8+5\sqrt{2}$。

答案： 答案 $8+5\sqrt {2}$
解析 当$n=\sqrt {2}$时，$n(n+1)=n^{2}+n=(\sqrt {2})^{2}+\sqrt {2}=2+\sqrt {2},\because 1＜\sqrt {2}＜2,\therefore 2+\sqrt {2}＜12$.当$n=2+\sqrt {2}$时，$n(n+1)=n^{2}+n=(2+\sqrt {2})^{2}+2+\sqrt {2}=4+4\sqrt {2}+2+2+\sqrt {2}=8+5\sqrt {2}$，$\because 1＜\sqrt {2}＜2,\therefore 5\sqrt {2}＞5,\therefore 8+5\sqrt {2}＞8+5=13＞12.\therefore $输出的结果是$8+5\sqrt {2}$.

10. 在算式“$◯ + \sqrt{8} □ \sqrt{\frac{1}{2}}$”中,“$◯$”表示实数,“$□$”表示“+”“-”“×”“÷”中的某一个运算符号。
(1)当“$□$”表示“-”时,运算结果为$\frac{9\sqrt{2}}{2}$,则“$◯$”表示的数为$3\sqrt{2}$。
(2)若“$◯$”表示的是(1)中所求的数,则当算式的结果最大时,“$□$”表示的运算符号是÷。

答案： 答案
(1)$3\sqrt {2}$
(2)$÷$
解析
(1)设“○”表示的数为$x$，则原式$=x+\sqrt {8}-\sqrt {\frac {1}{2}}=\frac {9\sqrt {2}}{2}$，解得$x=3\sqrt {2},\therefore $“○”表示的数为$3\sqrt {2}$.
(2)由
(1)得“○”表示的数为$3\sqrt {2}$，
当“□”表示“+”时，原式$=3\sqrt {2}+\sqrt {8}+\sqrt {\frac {1}{2}}=3\sqrt {2}+2\sqrt {2}+\frac {\sqrt {2}}{2}=\frac {11\sqrt {2}}{2}$；当“□”表示“-”时，原式$=\frac {9\sqrt {2}}{2}$；
当“□”表示“×”时，原式$=3\sqrt {2}+\sqrt {8}×\sqrt {\frac {1}{2}}=3\sqrt {2}+\sqrt {8×\frac {1}{2}}=3\sqrt {2}+2$；
当“□”表示“÷”时，原式$=3\sqrt {2}+\sqrt {8}÷\sqrt {\frac {1}{2}}=3\sqrt {2}+\sqrt {8×2}=3\sqrt {2}+4$.
$\because 3\sqrt {2}+2＜\frac {9\sqrt {2}}{2}＜\frac {11\sqrt {2}}{2}＜3\sqrt {2}+4$，
$\therefore $“□”表示的运算符号是$÷$.