《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

1. 「2025吉林长春净月实验中学月考」比较$\sqrt {6}+\sqrt {14}和\sqrt {7}+\sqrt {13}$的大小.

答案： 解析 $\because (\sqrt{6}+\sqrt{14})^2=6+2\sqrt{84}+14=20+2\sqrt{84}$，$(\sqrt{7}+\sqrt{13})^2=7+2\sqrt{91}+13=20+2\sqrt{91}$，
且$\sqrt{6}+\sqrt{14}＞0$，$\sqrt{7}+\sqrt{13}＞0$，$20+2\sqrt{84}＜20+2\sqrt{91}$，
$\therefore \sqrt{6}+\sqrt{14}＜\sqrt{7}+\sqrt{13}$。

2. 比较$\frac {\sqrt {2024}-1}{\sqrt {2025}-1}与\frac {\sqrt {2024}+1}{\sqrt {2025}+1}$的大小.

答案： 解析 $\because \frac{\sqrt{2024}-1}{\sqrt{2025}-1}-\frac{\sqrt{2024}+1}{\sqrt{2025}+1}=$
$\frac{(\sqrt{2024}-1)(\sqrt{2025}+1)}{(\sqrt{2025}-1)(\sqrt{2025}+1)}-\frac{(\sqrt{2024}+1)(\sqrt{2025}-1)}{(\sqrt{2025}+1)(\sqrt{2025}-1)}$
$=\frac{2(\sqrt{2024}-\sqrt{2025})}{(\sqrt{2025})^2-1}＜0$，$\therefore \frac{\sqrt{2024}-1}{\sqrt{2025}-1}＜\frac{\sqrt{2024}+1}{\sqrt{2025}+1}$。

3. 「2025海南儋州松涛中学期中」比较$\frac {\sqrt {a}+1}{\sqrt {a}+2}与\frac {\sqrt {a}+2}{\sqrt {a}+3}$的大小.

答案： 解析 $\because \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＞0$，$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}＞0$，$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}\div\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}\times$
$\frac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}+2}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)^2}=\frac{a+4\sqrt{a}+3}{a+4\sqrt{a}+4}＜1$，
$\therefore \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。

4. 「2025河南洛阳第二外国语学校月考」比较$2\sqrt {3}-\sqrt {7}与\sqrt {7}-\sqrt {2}$的大小.

答案： 解析 $\frac{1}{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{7}}{5}$，$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{5}$。
$\because 2\sqrt{3}+\sqrt{7}＞\sqrt{7}+\sqrt{2}＞0$，$\therefore \frac{1}{2\sqrt{3}-\sqrt{7}}＞\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}＞0$，
$\therefore 2\sqrt{3}-\sqrt{7}＜\sqrt{7}-\sqrt{2}$。

5. 「2025山西晋城二模」比较$\frac {1}{2-\sqrt {3}}与\frac {1}{\sqrt {3}-\sqrt {2}}$的大小.

答案： 解析 $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=2+\sqrt{3}$，
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
$\because 2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$\therefore \frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$。

6. 「2025湖南长沙雅礼书院中学月考」比较$\sqrt {15}-\sqrt {14}与\sqrt {14}-\sqrt {13}$的大小.

答案： 解析 $\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$
$=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$，
$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$
$=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$。
$\because \sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}$，$\sqrt{15}-\sqrt{14}＞0$，$\sqrt{14}-$
$\sqrt{13}＞0$，
$\therefore \frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，$\therefore \sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$。

7. 「2025河南新乡辉县城北中学月考」比较$\sqrt {5-a}与\sqrt [3]{a-6}$的大小.

答案： 解析 $\because 5-a\geq0$，$\therefore a\leq5$，$\therefore a-6＜0$，$\therefore \sqrt[3]{a-6}＜0$。
$\because \sqrt{5-a}\geq0$，$\therefore \sqrt{5-a}＞\sqrt[3]{a-6}$。

8. 学科特色多解法「2025四川宜宾长宁期中」设$x= \sqrt {n+3}-\sqrt {n+1},y= \sqrt {n+2}-\sqrt {n}$,试比较x与y的大小.
x＜y

答案： 解析 【解法一】特殊值法：由题意可知$n\geq0$，不妨设
$n=0$，则$x=\sqrt{3}-1$，$y=\sqrt{2}$，
$\because \sqrt{3}-1＜\sqrt{2}$，$\therefore x＜y$。
【解法二】倒数法：$\because \frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2}$，
$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}$，且$\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}＞\sqrt{n+2}+$
$\sqrt{n}＞0$，$\therefore \frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$，$\therefore x＜y$。