《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

13. 学科 教材变式 「2025 湖南衡阳珠晖二模,」已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x + 2m - 1 = 0 $ 有 $ x_1 $,$ x_2 $ 两实数根。
(1) 若 $ x_1 = 1 $,求 $ x_2 $ 及 $ m $ 的值。
$ x_2 $的值为5，$ m $的值为3。
(2) 是否存在实数 $ m $,满足 $ (x_1 - 1)(x_2 - 1) = \frac{6}{m - 5} $？若存在,求出实数 $ m $ 的值；若不存在,请说明理由。
存在，实数 $ m $ 的值为2。

答案： 解析
(1) 根据题意得$x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=2m-1$，$\because x_{1}=1$，$\therefore 1+x_{2}=6$，解得$x_{2}=5$，$\therefore 5=2m-1$，解得$m=3$。
(2) 存在。理由：
$\because (x_{1}-1)(x_{2}-1)=\frac{6}{m-5}$，$\therefore x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=\frac{6}{m-5}$，$\because x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=2m-1$，$\therefore 2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$，整理得$m^{2}-8m+12=0$，解得$m_{1}=2,m_{2}=6$，经检验$m_{1}=2,m_{2}=6$为原方程的解，$\because$一元二次方程$x^{2}-6x+2m-1=0$有两个实数根，$\therefore \Delta=(-6)^{2}-4(2m-1)\geq0$，解得$m\leq5$，$\therefore m=2$。

14. 新 运算能力 阅读材料：
材料 1：为了解方程 $ (x^2)^2 - 13x^2 + 36 = 0 $,若我们把 $ x^2 $ 看作一个整体,设 $ y = x^2 $,则原方程可化为 $ y^2 - 13y + 36 = 0 $,经过运算,原方程的解为 $ x_1 = 2 $,$ x_2 = -2 $,$ x_3 = 3 $,$ x_4 = -3 $。我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法。
材料 2：已知实数 $ m $,$ n $ 满足 $ m^2 - m - 1 = 0 $,$ n^2 - n - 1 = 0 $,且 $ m \neq n $,显然 $ m $,$ n $ 是方程 $ x^2 - x - 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根,由根与系数的关系可知 $ m + n = 1 $,$ mn = -1 $。
根据上述材料,解决以下问题：
(1) 方程 $ x^4 - 5x^2 + 6 = 0 $ 的解为______$x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2},x_{3}=\sqrt{3},x_{4}=-\sqrt{3}$。
(2) 已知实数 $ a $,$ b $ 满足：$ 2a^4 - 7a^2 + 1 = 0 $,$ 2b^4 - 7b^2 + 1 = 0 $ 且 $ a \neq b $,求 $ a^4 + b^4 $ 的值。
$\frac{45}{4}$或$\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$
(3) 已知实数 $ m $,$ n $ 满足：$ \frac{1}{m^4} + \frac{1}{m^2} = 7 $,$ n^2 - n = 7 $ 且 $ n ＞ 0 $,求 $ \frac{1}{m^4} + n^2 $ 的值。
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答案： 解析
(1) 令$y=x^{2}$，则有$y^{2}-5y+6=0$，$\therefore (y-2)(y-3)=0$，解得$y_{1}=2,y_{2}=3$，$\therefore x^{2}=2$或$x^{2}=3$，$\therefore x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2},x_{3}=\sqrt{3},x_{4}=-\sqrt{3}$。
故答案为$x_{1}=\sqrt{2},x_{2}=-\sqrt{2},x_{3}=\sqrt{3},x_{4}=-\sqrt{3}$。
(2) $\because a\neq b$，$\therefore a^{2}\neq b^{2}$或$a^{2}=b^{2}(a=-b)$。
①当$a^{2}\neq b^{2}$时，令$a^{2}=m,b^{2}=n$，则$m\neq n,2m^{2}-7m+1=0,2n^{2}-7n+1=0$，$\therefore m,n$可看作方程$2x^{2}-7x+1=0$的两个不相等的实数根，$\therefore m+n=\frac{7}{2},mn=\frac{1}{2}$，此时$a^{4}+b^{4}=m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=\frac{45}{4}$；
②当$a^{2}=b^{2}(a=-b)$时，$a^{2}=b^{2}=\frac{7\pm\sqrt{41}}{4}$，此时$a^{4}+b^{4}=2a^{4}=2(a^{2})^{2}=7a^{2}-1=\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$。
综上，$a^{4}+b^{4}=\frac{45}{4}$或$\frac{45\pm7\sqrt{41}}{4}$。
(3) 令$\frac{1}{m^{2}}=a,-n=b$，则$a^{2}+a-7=0,b^{2}+b-7=0$，$\because n＞0$，$\therefore \frac{1}{m^{2}}\neq -n$，即$a\neq b$，$\therefore a,b$可看作方程$x^{2}+x-7=0$的两个不相等的实数根，$\therefore a+b=-1,ab=-7$，$\therefore \frac{1}{m^{4}}+n^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=15$。

1. 已知 $ x_1 $,$ x_2 $ 是一元二次方程 $ x^2 + 3x - 5 = 0 $ 的两根,求以 $ x_1 + 2 $ 和 $ x_2 + 2 $ 为根的一个一元二次方程。

答案： 解析 根据题意得$x_{1}+x_{2}=-3,x_{1}x_{2}=-5$，$\therefore x_{1}+2+x_{2}+2=1,(x_{1}+2)(x_{2}+2)=x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4=-7$，$\therefore$以$x_{1}+2$和$x_{2}+2$为根的一个一元二次方程可以为$x^{2}-x-7=0$（答案不唯一）。

2. 已知 $ x_1 $,$ x_2 $ 是方程 $ 5x^2 - 2x - 2 = 0 $ 的两根,求一个新的一元二次方程,使它的两根是 $ \frac{x_1}{x_2 + 1} $ 和 $ \frac{x_2}{x_1 + 1} $。

答案： 解析 $\because x_{1},x_{2}$是方程$5x^{2}-2x-2=0$的两根，$\therefore x_{1}+x_{2}=\frac{2}{5},x_{1}x_{2}=-\frac{2}{5}$，$\therefore \frac{x_{1}}{x_{2}+1}+\frac{x_{2}}{x_{1}+1}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})}{x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}+1}=\frac{34}{25},\frac{x_{1}}{x_{2}+1}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}+1}=\frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}+1}=-\frac{2}{5}$，$\therefore$新的一元二次方程可以为$25x^{2}-34x-10=0$（答案不唯一）。