《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

13.「2025山西长治黎城期中」(8分)计算:
(1)$\sqrt {2}×\sqrt {10}+\sqrt {45}+\sqrt {\frac {5}{4}}$.
(2)$\frac {\sqrt {2}×\sqrt {6}}{\sqrt {3}}+(\sqrt {3}-2)^{2}-\sqrt {2}(\sqrt {2}-\sqrt {6})$.

答案： 解析 （1）原式$= 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{11\sqrt{5}}{2}$.
（2）原式$= 2 + 3 - 4\sqrt{3} + 4 - 2 + 2\sqrt{3} = 7 - 2\sqrt{3}$.

14. (10分)已知$a、b、c满足\sqrt {2a+b-4}+|a+1|= \sqrt {b-c}+\sqrt {c-b}$.
(1)求证:$b= c$.
证明：由题意得$b - c \geq 0$且$c - b \geq 0$，∴$b = c$.
(2)求$-4a+b+c$的平方根.
解：当$b = c$时，原式可化为$\sqrt{2a + b - 4} + |a + 1| = 0$，由非负数的性质得$\begin{cases}2a + b - 4 = 0, \\ a + 1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1, \\ b = 6,\end{cases}$∴$c = 6$，
∴$-4a + b + c = 4 + 6 + 6 = 16$，故$-4a + b + c$的平方根是$\pm 4$.

答案： 解析 （1）证明：由题意得$b - c \geq 0$且$c - b \geq 0$，
∴$b = c$.
（2）当$b = c$时，原式可化为$\sqrt{2a + b - 4} + |a + 1| = 0$，由非负数的性质得$\begin{cases}2a + b - 4 = 0, \\ a + 1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = -1, \\ b = 6,\end{cases}$
∴$c = 6$，
∴$-4a + b + c = 4 + 6 + 6 = 16$，故$-4a + b + c$的平方根是$\pm 4$.

15. (10分)“高空抛物,害人害己”.已知从高空抛下的物体下落的时间$t$(单位:$s$)和高度$h$(单位:$m$)近似满足公式$t= \sqrt {\frac {2h}{g}}$(不考虑风速的影响,$g\approx 10m/s^{2},\sqrt {5}\approx 2.236$)
(1)小明家住20层,每层的高度近似为3m,假如从小明家坠落一个物品(窗台高度忽略不计),求该物品落地的时间.(结果保留根号)
该物品落地的时间约为$\frac{\sqrt{285}}{5}$$s$.
(2)小明查阅资料得知,伤害无防护人体只需要64J的动能,高空抛物动能$(J)= 10×物体质量(kg)×高度(m)$,某质量为$0.1kg$的玩具在高空被抛出后,大约经过几秒就可能会伤害到楼下的行人?(结果保留一位小数)
大约经过3.6$s$就可能会伤害到楼下的行人.

答案： 解析 （1）
∵小明家住20层，每层的高度近似为3m，
∴$h = (20 - 1) \times 3 = 57(m)$，
∴$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx \sqrt{\frac{2 \times 57}{10}} = \frac{\sqrt{285}}{5}(s)$，
∴该物品落地的时间约为$\frac{\sqrt{285}}{5}s$.
（2）该玩具最低的下落高度$h = \frac{64}{10 \times 0.1} = 64(m)$，
∴$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx \sqrt{\frac{2 \times 64}{10}} = \frac{8\sqrt{5}}{5} \approx \frac{8 \times 2.236}{5} = 3.5776 \approx 3.6(s)$，
∴大约经过3.6s就可能会伤害到楼下的行人.

16.「2025山西省实验中学二模」(12分)“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法.
如:$\frac {\sqrt {2}+1}{\sqrt {2}-1}= \frac {(\sqrt {2}+1)(\sqrt {2}+1)}{(\sqrt {2}-1)(\sqrt {2}+1)}= 3+2\sqrt {2}$.
除此之外,我们也可以通过平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数.
如:化简$\sqrt {2+\sqrt {3}}-\sqrt {2-\sqrt {3}}$.
解:设$x= \sqrt {2+\sqrt {3}}-\sqrt {2-\sqrt {3}}$,易知$\sqrt {2+\sqrt {3}}＞\sqrt {2-\sqrt {3}}$,故$x＞0$.
$\because x^{2}= (\sqrt {2+\sqrt {3}}-\sqrt {2-\sqrt {3}})^{2}= 2+\sqrt {3}+2-\sqrt {3}-2\sqrt {(2+\sqrt {3})(2-\sqrt {3})}= 2$,
$\therefore x= \sqrt {2}$,即$\sqrt {2+\sqrt {3}}-\sqrt {2-\sqrt {3}}= \sqrt {2}$.
根据以上方法,化简:$\frac {3-2\sqrt {2}}{3+2\sqrt {2}}+\sqrt {3-\sqrt {5}}-\sqrt {3+\sqrt {5}}$.
$17 - 13\sqrt{2}$

答案： 解析 设$m = \sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}}$，易知$\sqrt{3 - \sqrt{5}} ＜ \sqrt{3 + \sqrt{5}}$，故$m ＜ 0$，
∵$m^2 = (\sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} - 2\sqrt{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = 2$，
∴$m = -\sqrt{2}$，即$\sqrt{3 - \sqrt{5}} - \sqrt{3 + \sqrt{5}} = -\sqrt{2}$，
∴原式$= \frac{(3 - 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} - \sqrt{2} = 17 - 12\sqrt{2} - \sqrt{2} = 17 - 13\sqrt{2}$.