《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

1.「2025四川资阳中学月考」先化简,再求值：$(a+\sqrt {5})\cdot (a-\sqrt {5})-a(a-4)+14$,其中$a= \sqrt {6}-2$。

答案： 解析 原式$=a^{2}-5-a^{2}+4a+14=4a+9$，
当$a=\sqrt {6}-2$时，原式$=4×(\sqrt {6}-2)+9=4\sqrt {6}-8+9=4\sqrt {6}+1$。

2.「2024山西临汾襄汾期中」已知$a= 2+\sqrt {3},b= 2-\sqrt {3}$,试求$\frac {a}{b}+\frac {b}{a}$的值。14

答案： 解析 $\because a=2+\sqrt {3},b=2-\sqrt {3},\therefore a+b=4,ab=(2+\sqrt {3})(2-\sqrt {3})=1,\therefore \frac {a}{b}+\frac {b}{a}=\frac {a^{2}+b^{2}}{ab}=\frac {(a+b)^{2}-2ab}{ab}=\frac {4^{2}-2}{1}=14$。

3.「2024河南驻马店二中月考」已知$\sqrt {a}-\frac {1}{\sqrt {a}}=$2，求$\sqrt {a^{2}+\frac {1}{a^{2}}+15}$的值。

答案： 解析 $\because \sqrt {a}-\frac {1}{\sqrt {a}}=2,\therefore (\sqrt {a}-\frac {1}{\sqrt {a}})^{2}=4$，整理得$a+\frac {1}{a}=6,\therefore \sqrt {a^{2}+\frac {1}{a^{2}}+15}=\sqrt {(a+\frac {1}{a})^{2}-2+15}=\sqrt {6^{2}-2+15}=\sqrt {49}=7$。

4.「2025湖南衡阳衡钢中学月考」计算：$\frac {\sqrt {6}+\sqrt {3}+\sqrt {2}+2}{\sqrt {3}+2\sqrt {2}+1}$。

答案： 解析 原式的倒数$=\frac {\sqrt {3}+\sqrt {2}+\sqrt {2}+1}{(\sqrt {6}+\sqrt {3})+(2+\sqrt {2})}=\frac {(\sqrt {3}+\sqrt {2})+(\sqrt {2}+1)}{\sqrt {3}(\sqrt {2}+1)+\sqrt {2}(\sqrt {2}+1)}=\frac {\sqrt {3}+\sqrt {2}}{(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {2}+1)}+\frac {\sqrt {2}+1}{(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {2}+1)}=\frac {1}{\sqrt {2}+1}+\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}=\sqrt {2}-1+\sqrt {3}-\sqrt {2}=\sqrt {3}-1$，故原式$=\frac {1}{\sqrt {3}-1}=\frac {\sqrt {3}+1}{2}$。

5.「2025四川省洪雅中学校月考」计算：$\frac {\sqrt {6}+4\sqrt {3}+3\sqrt {2}}{(\sqrt {6}+\sqrt {3})(\sqrt {3}+\sqrt {2})}$。

答案： 解析 原式$=\frac {\sqrt {6}+\sqrt {3}+3\sqrt {3}+3\sqrt {2}}{(\sqrt {6}+\sqrt {3})(\sqrt {3}+\sqrt {2})}=\frac {(\sqrt {6}+\sqrt {3})+3(\sqrt {3}+\sqrt {2})}{(\sqrt {6}+\sqrt {3})(\sqrt {3}+\sqrt {2})}=\frac {\sqrt {6}+\sqrt {3}}{(\sqrt {6}+\sqrt {3})(\sqrt {3}+\sqrt {2})}+\frac {3(\sqrt {3}+\sqrt {2})}{(\sqrt {6}+\sqrt {3})(\sqrt {3}+\sqrt {2})}=\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}+\frac {3}{\sqrt {6}+\sqrt {3}}=\sqrt {3}-\sqrt {2}+\sqrt {6}-\sqrt {3}=\sqrt {6}-\sqrt {2}$。

6.「2025河南鹤壁淇县期中」计算：$\frac {\sqrt {2}+\sqrt {5}-\sqrt {3}}{2\sqrt {30}-6\sqrt {2}+4\sqrt {3}}$。

答案： 解析 设$\sqrt {2}=a,\sqrt {5}=b,\sqrt {3}=c,\therefore abc=\sqrt {30}$，
$\therefore$原式$=\frac {a+b-c}{2abc-2ac^{2}+2a^{2}c}=\frac {a+b-c}{2ac(b-c+a)}=\frac {1}{2ac}$。
将$a=\sqrt {2},c=\sqrt {3}$代入，得原式$=\frac {1}{2ac}=\frac {1}{2×\sqrt {2}×\sqrt {3}}=\frac {1}{2\sqrt {6}}=\frac {\sqrt {6}}{12}$。

7.「2025吉林长春七十二中月考」已知$n= \sqrt {2}+1$,求$\frac {n+2+\sqrt {n^{2}-4}}{n+2-\sqrt {n^{2}-4}}+\frac {n+2-\sqrt {n^{2}-4}}{n+2+\sqrt {n^{2}-4}}$的值。$\sqrt{2}+1$

答案： 解析 设$x=n+2+\sqrt {n^{2}-4},y=n+2-\sqrt {n^{2}-4}$，则$x+y=2n+4,xy=4n+8$，
$\therefore$原式$=\frac {x}{y}+\frac {y}{x}=\frac {x^{2}+y^{2}}{xy}=\frac {(x+y)^{2}-2xy}{xy}=\frac {(x+y)^{2}}{xy}-2=\frac {(2n+4)^{2}}{4n+8}-2=n$。
当$n=\sqrt {2}+1$时，原式$=\sqrt {2}+1$。

8.「2025四川巴中平昌二模」已知$a= \frac {1}{\sqrt {5}-2},b= \frac {1}{\sqrt {5}+2}$。若$m为a$的整数部分,$n为b$的小数部分,求$\frac {m}{n}$的值。$4\sqrt{5}+8$

答案： 解析 $a=\frac {1}{\sqrt {5}-2}=\frac {\sqrt {5}+2}{(\sqrt {5}-2)(\sqrt {5}+2)}=\sqrt {5}+2,b=\frac {1}{\sqrt {5}+2}=\frac {\sqrt {5}-2}{(\sqrt {5}+2)(\sqrt {5}-2)}=\sqrt {5}-2$，
$\because \sqrt {4}＜\sqrt {5}＜\sqrt {9},\therefore 2＜\sqrt {5}＜3,\therefore 4＜\sqrt {5}+2＜5,0＜\sqrt {5}-2＜1$，
$\because m$为$a$的整数部分，$n$为$b$的小数部分，
$\therefore m=4,n=\sqrt {5}-2$，
$\therefore \frac {m}{n}=\frac {4}{\sqrt {5}-2}=\frac {4(\sqrt {5}+2)}{(\sqrt {5}-2)(\sqrt {5}+2)}=4\sqrt {5}+8$。