《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

12.「2025福建泉州洛江二模」如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },sin∠ACB= \frac {1}{4},ED垂直平分AC$,交$BC于点D$,交$AC于点F$,连结$AE$、$CE$,若$AE= DE$,则$\frac {AE}{AB}$的值为 ( )

A.$\frac {\sqrt {15}}{2}$
B.$\sqrt {15}$
C.2
D.4

答案：
D 如图，连结AD，
∵ED垂直平分AC，
∴AF = CF，ED⊥AC，
∵∠BAC = 90°，
∴DF//AB，
∴CD = BD，
∴AD = $\frac{1}{2}$BC，
∴AD = BD，
∴∠B = ∠BAD，
∵DF//AB，
∴∠ADE = ∠BAD，
∵AE = DE，
∴∠EAD = ∠ADE，
∴∠B = ∠BAD = ∠EAD = ∠EDA，
∴△EAD∽△DAB，
∴$\frac{AE}{AD}$ = $\frac{AD}{AB}$，
∵∠BAC = 90°，
∴sin∠ACB = $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{AB}{2AD}$ = $\frac{1}{4}$，
∴AD = 2AB，
∴$\frac{AE}{AD}$ = 2，
∴AE = 2AD = 4AB，
∴$\frac{AE}{AB}$ = 4。

13.「2025陕西师大附中期中」如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },D是AB$的中点,过点$D作AB的垂线交AC于点E,AC= 16,cosA= \frac {4}{5}$,则$AE$的长度为______$\frac{25}{2}$.

答案： 答案 $\frac{25}{2}$
解析
∵在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 16，cos A = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{4}{5}$，
∴AB = 16÷$\frac{4}{5}$ = 20，
∵D是AB的中点，
∴AD = 20×$\frac{1}{2}$ = 10，
∵ED⊥AB，
∴∠EDA = 90°，
∴cos A = $\frac{AD}{AE}$ = $\frac{4}{5}$，
∴AE = 10÷$\frac{4}{5}$ = $\frac{25}{2}$。

14.「2025山西长治清华机械厂中学二模」在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,若$sinA= tanB$,则$cosA$的值是______.

答案：
答案 $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$
解析 如图，
∵sin A = tan B，
∴$\frac{BC}{AB}$ = $\frac{AC}{BC}$，
∴AC = $\frac{BC^{2}}{AB}$，
∴cos A = $\frac{AC}{AB}$ = $\frac{BC^{2}}{AB^{2}}$ = 1 - $\frac{AC^{2}}{AB^{2}}$ = 1 - cos²A，
∴cos²A + cos A - 1 = 0，令cos A = x，则x² + x - 1 = 0，解得x = $\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$，
∵cos A ＞ 0，
∴cos A = $\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$。

15.「2025福建泉州永春一模」在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ },∠A,∠B,∠C的对边分别为a$,$b,c$,请你判断式子$\frac {a^{2}}{bc}cosA+\frac {b^{2}}{ac}cosB$化简后的结果是不是常数,并证明你的结论.

答案： 解析 是常数。证明如下：
∵在Rt△ABC中，∠C = 90°，
∴cos A = $\frac{b}{c}$，cos B = $\frac{a}{c}$，a² + b² = c²，
∴$\frac{a^{2}}{bc}$cos A + $\frac{b^{2}}{ac}$cos B = $\frac{a^{2}}{bc}$·$\frac{b}{c}$ + $\frac{b^{2}}{ac}$·$\frac{a}{c}$ = $\frac{a^{2}}{c^{2}}$ + $\frac{b^{2}}{c^{2}}$ = $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ = $\frac{c^{2}}{c^{2}}$ = 1，
∴式子$\frac{a^{2}}{bc}$cos A + $\frac{b^{2}}{ac}$cos B化简后的结果是常数。

16.「2024内蒙古包头一模」
【实践探究】如图1,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= $$90^{\circ },AC= 2,BC= 1$,求$tan\frac {1}{2}∠BAC$的值.小邕想构造包含$\frac {1}{2}∠BAC$的直角三角形:延长$CA到点D$,使$DA= AB$,连结$BD$,可得$∠D= $$\frac {1}{2}∠BAC$,问题即转化为求$∠D$的正切值,请按小邕的思路求$tan\frac {1}{2}∠BAC$的值.
【拓展延伸】如图2,在$Rt\triangle ABC$中,$∠C= $$90^{\circ },AC= 3,tanA= \frac {1}{3}$,求$tan2A$的值.

答案：
解析 【实践探究】在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 1，
∴AB = $\sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{5}$，由作图可知AD = AB = $\sqrt{5}$，
∴∠D = ∠ABD，
∴∠BAC = 2∠D，
∵CD = AD + AC = $\sqrt{5}$ + 2，
∴tan$\frac{1}{2}$∠BAC = tan D = $\frac{BC}{CD}$ = $\sqrt{5}$ - 2。
【拓展延伸】如图，作AB的垂直平分线交AC于E，连结BE，则AE = BE，
∴∠A = ∠ABE，
∴∠BEC = 2∠A，
∵在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，tan A = $\frac{1}{3}$，
∴BC = 1，
∴AB = $\sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$ = $\sqrt{10}$，设AE = BE = x，则EC = 3 - x，在Rt△EBC中，x² = (3 - x)² + 1²，解得x = $\frac{5}{3}$，
∴EC = $\frac{4}{3}$，
∴tan 2A = tan∠BEC = $\frac{BC}{CE}$ = $\frac{3}{4}$。