《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

1.已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1= 0$.当$b= a+3$时,利用根的判别式判断方程根的情况.
当$b = a + 3$时，关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + 1=0$总有两个不相等的实数根。

答案： 解析 $\because b = a + 3$，$\therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( a + 3 ) ^ { 2 } - 4 a = a ^ { 2 } + 6 a + 9 - 4 a = a ^ { 2 } + 2 a + 1 + 8 = ( a + 1 ) ^ { 2 } + 8 ＞ 0$，
$\therefore$ 当 $b = a + 3$ 时，关于 $x$ 的一元二次方程 $a x ^ { 2 } + b x + 1 = 0$ 总有两个不相等的实数根。

2.「2025上海嘉定疁城实验学校期中」已知关于x的一元二次方程$(a-3)x^{2}-4x+2= 0$.
(1)若方程的一个根为$x= -1$,求a的值.-3
(2)若方程有实数根,求满足条件的正整数a的值.1，2，4，5

答案： 解析
(1) $\because$ 方程的一个根为 $x = - 1$，
$\therefore$ 把 $x = - 1$ 代入 $( a - 3 ) x ^ { 2 } - 4 x + 2 = 0$，得 $a - 3 + 4 + 2 = 0$，
解得 $a = - 3$。
(2) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $( a - 3 ) x ^ { 2 } - 4 x + 2 = 0$ 有实数根，
$\therefore \Delta \geq 0$ 且 $a - 3 \neq 0$，即 $16 - 8 ( a - 3 ) \geq 0$ 且 $a - 3 \neq 0$，解得 $a \leq 5$ 且 $a \neq 3$，
$\therefore$ 满足条件的正整数 $a$ 的值为 $1$，$2$，$4$，$5$。

3.「2025北京市三帆中学期末」已知关于x的方程$2x^{2}+(2m-1)x+m-1= 0$.
(1)求证：方程总有两个实数根.
(2)若方程有一个正实数根$x_{1}$,另一个根为$x_{2}$,且$x_{1}= 2x_{2}+10$,求m的值.-8

答案： 解析
(1) 证明：对于方程 $2 x ^ { 2 } + ( 2 m - 1 ) x + m - 1 = 0$，$a = 2$，$b = 2 m - 1$，$c = m - 1$，
$\therefore \Delta = ( 2 m - 1 ) ^ { 2 } - 4 \times 2 ( m - 1 ) = 4 m ^ { 2 } - 12 m + 9 = ( 2 m - 3 ) ^ { 2 } \geq 0$，
$\therefore$ 此方程总有两个实数根。
(2) 解方程 $2 x ^ { 2 } + ( 2 m - 1 ) x + m - 1 = 0$，
得 $x = \frac { - ( 2 m - 1 ) \pm \sqrt { ( 2 m - 3 ) ^ { 2 } } } { 2 \times 2 } = \frac { - ( 2 m - 1 ) \pm ( 2 m - 3 ) } { 4 }$，
即 $x = - \frac { 1 } { 2 }$ 或 $x = - m + 1$，
$\because$ 方程有一个正实数根 $x _ { 1 }$，另一个根为 $x _ { 2 }$，
$\therefore x _ { 1 } = - m + 1$，$x _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 }$，
又 $\because x _ { 1 } = 2 x _ { 2 } + 10$，$\therefore - m + 1 = 2 \times \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) + 10$，解得 $m = - 8$。
故 $m$ 的值为 $- 8$。

4.「2025吉林长春农安期中」已知菱形的两条对角线长分别为12a和$a+b$.
(1)用含a,b的代数式表示菱形的面积.
(2)若关于x的方程$x^{2}+2ax-ab+1= 0$有两个相等的实数根,求此时菱形的面积.

答案： 解析
(1) 菱形的面积 $= \frac { 1 } { 2 } \times 12 a \times ( a + b ) = 6 a ^ { 2 } + 6 a b$。
(2) 由题意得 $\Delta = ( 2 a ) ^ { 2 } - 4 \times ( - a b + 1 ) = 0$，即 $4 a ^ { 2 } + 4 a b - 4 = 0$，
$\therefore a ^ { 2 } + a b = 1$，$\therefore$ 菱形的面积 $= 6 ( a ^ { 2 } + a b ) = 6$。

5.「2025福建漳州诏安期中」由两个全等的$Rt△ABE和Rt△ECD$构成如图所示的四边形ABCD,已知直角三角形的直角边长分别为m、n,斜边长为q,以m、$\sqrt {2}q$和n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程$mx^{2}+\sqrt {2}qx+n= 0$称为勾股方程.
(1)直接写出一个勾股方程.$3x^{2}+5\sqrt {2}x+4=0$（答案不唯一）
(2)若勾股方程$mx^{2}+\sqrt {2}qx+n= 0$有两个相等的实数根,求$\frac {m}{q}$的值.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
(3)若$x= -1是勾股方程mx^{2}+\sqrt {2}qx+n= 0$的一个根,且四边形ABCD的周长是6,求四边形ABCD的面积.2

答案： 解析
(1) 设 $m = 3$，$n = 4$，$q = 5$，则 $3 x ^ { 2 } + 5 \sqrt { 2 } x + 4 = 0$ 是勾股方程。答案不唯一。
(2) $\because$ 勾股方程 $m x ^ { 2 } + \sqrt { 2 } q x + n = 0$ 有两个相等的实数根，$\therefore \Delta = 2 q ^ { 2 } - 4 m n = 0$，$\therefore q ^ { 2 } = 2 m n$，
又 $\because q ^ { 2 } = m ^ { 2 } + n ^ { 2 }$，$\therefore m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 2 m n$，即 $( m - n ) ^ { 2 } = 0$，$\therefore m = n$，$\therefore q = \sqrt { 2 } m$，$\therefore \frac { m } { q } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$。
(3) $\because x = - 1$ 是勾股方程 $m x ^ { 2 } + \sqrt { 2 } q x + n = 0$ 的一个根，
$\therefore m - \sqrt { 2 } q + n = 0$，即 $\sqrt { 2 } q = m + n$，
$\because$ 四边形 $A B C D$ 的周长是 $6$，$\therefore 2 m + 2 n + \sqrt { 2 } q = 6$，$\therefore q = \sqrt { 2 }$，$m + n = 2$，
又 $\because q ^ { 2 } = m ^ { 2 } + n ^ { 2 }$，
$\therefore m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 2$，$\therefore m n = \frac { ( m + n ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } - n ^ { 2 } } { 2 } = 1$，
$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 的面积 $= m n + \frac { 1 } { 2 } q ^ { 2 } = 1 + 1 = 2$。