《2025年5年中考3年模拟九年级数学上册华师大版》

1.「2024 山西晋中榆次三模」观察式子：$\sqrt {4×9}= \sqrt {36}= 6,\sqrt {4}×\sqrt {9}= 2×3= 6.$$\sqrt {\frac {49}{100}×\frac {9}{4}}= \sqrt {\frac {441}{400}}= \frac {21}{20},$$\sqrt {\frac {49}{100}}×\sqrt {\frac {9}{4}}= \frac {7}{10}×\frac {3}{2}= \frac {21}{20}.$$\sqrt {0.25×0.04}= \sqrt {0.01}= 0.1,$$\sqrt {0.25}×\sqrt {0.04}= 0.5×0.2= 0.1.$由此猜想$\sqrt {ab}= \sqrt {a}\cdot \sqrt {b}(a≥0,b≥0).$上述探究过程蕴含的思想方法是 (从特殊到一般)
A.从特殊到一般
B.类比
C.转化
D.公理化

答案： A 观察题中给出的等式，易知其探究过程蕴含的思想方法是从特殊到一般。

2. 易错题 化简$\sqrt {(-64)×(-25)}$的结果是(C)
A.100
B.60
C.40
D.20

答案： C 原式 $ = \sqrt { 64 \times 25 } = \sqrt { 64 } \times \sqrt { 25 } = 8 \times 5 = 40 $。
易错警示 易忽略公式 $ \sqrt { a b } = \sqrt { a } \cdot \sqrt { b } $ 的前提条件是 $ a \geq 0 $，$ b \geq 0 $。

3.「2025 福建泉州德化一模」已知$a= \sqrt {2},b= \sqrt {10}$,用含a,b 的代数式表示$\sqrt {20}$,这个代数式是 (ab)
A.$a+b$
B.ab
C.2a
D.2b

答案： B $ \because a = \sqrt { 2 } $，$ b = \sqrt { 10 } $，$ \therefore \sqrt { 20 } = \sqrt { 2 \times 10 } = \sqrt { 2 } \times \sqrt { 10 } = a b $。

4. 新定义试题 在日常生活中,很多地方都需要用到密码.为了增强密码的安全性,有人发明了“二次根式化简法”来产生密码,例如$\sqrt {500}= 10\sqrt {5},$于是就得到一个六位数的密码“500105”,对于二次根式$\sqrt {800}$,用上述方法产生的六位数密码是____800202.

答案： 答案 800202
解析 $ \because \sqrt { 800 } = \sqrt { 400 \times 2 } = \sqrt { 400 } \times \sqrt { 2 } = 20 \sqrt { 2 } $，$ \therefore $ 密码是 800202。

5.「2025 河南周口第一初级中学月考」化简：
(1)$\sqrt {50}.$
(2)$\sqrt {\frac {4}{3}×243}.$
(3)$\sqrt {40^{2}-24^{2}}.$
(4)$\sqrt {2×(-2)^{2}×25}.$

答案： 解析
(1) 原式 $ = \sqrt { 25 \times 2 } = \sqrt { 25 } \times \sqrt { 2 } = 5 \sqrt { 2 } $。
(2) 原式 $ = \sqrt { 4 \times 81 } = \sqrt { 4 } \times \sqrt { 81 } = 2 \times 9 = 18 $。
(3) 原式 $ = \sqrt { ( 40 + 24 ) \times ( 40 - 24 ) } = \sqrt { 64 \times 16 } = \sqrt { 64 } \times \sqrt { 16 } = 8 \times 4 = 32 $。
(4) 原式 $ = \sqrt { 2 } \times \sqrt { 2 ^ { 2 } } \times \sqrt { 25 } = 10 \sqrt { 2 } $。

6.「2025 四川遂宁蓬溪中学月考,」下面是小明和小亮的计算过程,下列判断正确的是 (C)
小明：$\sqrt {3}×\sqrt {6}= \sqrt {3×6}= \sqrt {3×3×2}= \sqrt {3^{2}×2}= \sqrt {3^{2}}×\sqrt {2}= 3\sqrt {2};$
小亮：$2\sqrt {5}×\sqrt {10}= 2\sqrt {5}×\sqrt {5×2}= 2\sqrt {5}×\sqrt {5}×\sqrt {2}= 2(\sqrt {5})^{2}×\sqrt {2}= 10\sqrt {2}.$
A.只有小明的做法正确
B.两人的做法都不正确
C.小明在计算时用到了$\sqrt {ab}= \sqrt {a}\cdot \sqrt {b}(a≥0,$$b≥0)$
D.小亮在计算时用到了$\sqrt {a^{2}}= a(a≥0)$

答案： C 小明：$ \sqrt { 3 } \times \sqrt { 6 } = \sqrt { 3 \times 6 } = \sqrt { 3 \times 3 \times 2 } = \sqrt { 3 ^ { 2 } \times 2 } = \sqrt { 3 ^ { 2 } } \times \sqrt { 2 } = 3 \sqrt { 2 } $，做法是正确的，计算时用到了 $ \sqrt { a b } = \sqrt { a } \cdot \sqrt { b } $（$ a \geq 0 $，$ b \geq 0 $）；
小亮：$ 2 \sqrt { 5 } \times \sqrt { 10 } = 2 \sqrt { 5 } \times \sqrt { 5 \times 2 } = 2 \sqrt { 5 } \times \sqrt { 5 } \times \sqrt { 2 } = 2 ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } \times \sqrt { 2 } = 10 \sqrt { 2 } $，做法是正确的，计算时用到了 $ ( \sqrt { a } ) ^ { 2 } = a $（$ a \geq 0 $）。故 A、B、D 均错误，C 正确。

7.「2025 四川眉山仁寿期中,」若$a\lt b$(a,b 为非零实数),化简$\sqrt {-a^{3}b}$的结果为 ($-a\sqrt {-ab}$)
A.$-a\sqrt {-ab}$
B.$a\sqrt {-ab}$
C.$a\sqrt {ab}$
D.$\sqrt {-ab}$

答案： A $ \because a ＜ b $（$ a $，$ b $ 为非零实数），$ \sqrt { - a ^ { 3 } b } $ 有意义，$ \therefore - a ^ { 3 } b ＞ 0 $，$ \therefore a b ＜ 0 $，$ \therefore a ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ \therefore \sqrt { - a ^ { 3 } b } = \sqrt { a ^ { 2 } \times ( - a b ) } = \sqrt { a ^ { 2 } } \times \sqrt { - a b } = - a \sqrt { - a b } $。

8. 规律探究题 「2025 海南东方一模,」下图是按某种规律排列的数阵,根据排列规律,第5行从左向右数,第4个数是 (2√6)
1 $\sqrt {2}$ 第1行
$\sqrt {3}$ 2 $\sqrt {5}$ $\sqrt {6}$ 第2行
$\sqrt {7}$ $2\sqrt {2}$ 3 $\sqrt {10}$ $\sqrt {11}$ $2\sqrt {3}$ 第3行
A.$2\sqrt {6}$
B.$\sqrt {22}$
C.$\sqrt {23}$
D.$2\sqrt {7}$

答案： A 依题意可知该数阵是由 $ \sqrt { 1 } $，$ \sqrt { 2 } $，$ \sqrt { 3 } $，$ \cdots $，$ \sqrt { n } $ 组成的，且第 $ n $ 行有 $ 2 n $ 个数，
$ \therefore $ 第 5 行从左向右数，第 4 个数是该数阵从左到右，从上到下的第 $ 2 + 4 + 6 + 8 + 4 = 24 $ 个数，
$ \therefore $ 第 5 行从左向右数，第 4 个数是 $ \sqrt { 24 } = \sqrt { 4 } \times \sqrt { 6 } = 2 \sqrt { 6 } $。

9. 教材变式 「2025 吉林长春绿园一模,」等式$\sqrt {(4-a)(a-2)^{2}}= (a-2)\sqrt {4-a}$成立的条件是$2 \leq a \leq 4$.

答案： 答案 $ 2 \leq a \leq 4 $
解析 由 $ \sqrt { ( 4 - a ) ( a - 2 ) ^ { 2 } } = ( a - 2 ) \sqrt { 4 - a } $ 成立，可得 $ \left\{ \begin{array} { l } { a - 2 \geq 0, } \\ { 4 - a \geq 0, } \end{array} \right. $ 解得 $ 2 \leq a \leq 4 $。

10.「2022 湖北随州中考,」已知 m 为正整数,若$\sqrt {189m}$是整数,则根据$\sqrt {189m}= \sqrt {3×3×3×7m}= $$3\sqrt {3×7m}$可知 m 有最小值,最小值为$3×7= $21.设n为正整数,若$\sqrt {\frac {300}{n}}$是大于1的整数,则n的最小值为3,最大值为75.

答案： 答案 3；75
解析 $ \because \sqrt { \frac { 300 } { n } } = \sqrt { \frac { 3 \times 100 } { n } } = 10 \sqrt { \frac { 3 } { n } } $，且 $ \sqrt { \frac { 300 } { n } } $ 是大于 1 的整数，$ \therefore $ 整数 $ n $ 的最小值为 3，最大值为 $ \frac { 300 } { 4 } = 75 $。