《2025年海淀单元测试AB卷六年级数学下册鲁教版》

8. 新考向 阅读理解 阅读材料后解决问题.
小明遇到下面一个问题：计算(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1). 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)
=(2 - 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)
=(2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)
=(2⁴ - 1)(2⁴ + 1)
=2⁸ - 1
(1)请你根据小明解决问题的方法，试着计算下列各题.
①$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2²})(1+\frac{1}{2⁴})(1+\frac{1}{2⁸})+\frac{1}{2^{15}}$
②(3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)
(2)直接写出(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)·…·(2³² + 1)的结果的个位数字.

答案： 解：
(1)①原式$=2(1 - \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2^2})(1 + \frac{1}{2^4})(1 + \frac{1}{2^8}) + \frac{1}{2^{15}} = 2(1 - \frac{1}{2^2})(1 + \frac{1}{2^2})(1 + \frac{1}{2^4})(1 + \frac{1}{2^8}) + \frac{1}{2^{15}} = 2(1 - \frac{1}{2^{16}}) + \frac{1}{2^{15}} = 2 - \frac{1}{2^{15}} + \frac{1}{2^{15}} = 2$.
　②原式$=\frac{1}{2}(3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) = \frac{1}{2}(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) = \frac{1}{2}(3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) = \frac{1}{2}(3^8 - 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1) = \frac{1}{2}(3^{16} - 1)(3^{16} + 1) = \frac{1}{2}(3^{32} - 1)$.
(2)5