《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例3　某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以只挂1面旗，也可以挂2面旗或3面旗，旗数或顺序不同时，表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号？

答案： 解析：按照所挂旗数，可以分为三类，
第一类是只挂1面旗，此时可表示$A_{3}^{1}$种不同的信号；
第二类是挂2面旗，此时可表示$A_{3}^{2}$种不同的信号；
第三类是挂3面旗，此时可表示$A_{3}^{3}$种不同的信号.
按照分类加法计数原理，一共可表示不同的信号为$A_{3}^{1}+A_{3}^{2}+A_{3}^{3}=3 + 3×2+3×2×1 = 15$(种).

跟踪训练3　将4名医生与4名护士分配到四个不同的单位，每个单位分配一名医生与一名护士，共有多少种不同的分配方案？

答案： 解析：完成这件事可以分为两步，
第一步，把4名医生分配到四个不同的单位，等价于从4个不同元素中取出4个元素的排列问题，有$A_{4}^{4}$种方法.
第二步，把4名护士分配到四个不同的单位，也有$A_{4}^{4}$种方法.
根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有$A_{4}^{4}×A_{4}^{4}=576$(种).

1.若A_{n}^{2}=20，则n =(　　)
A. 3　　　
　B. 4　　　
　C. 5　　　
　D. 6

答案： 解析：由$A_{n}^{2}=20$，得n(n - 1)=20，解得n = 5或n = - 4(舍去).故选C.
答案：C

2.对于满足n≥4的任意正整数n，4×5×...×n =(　　)
A. A_{n}^{3}　　
　B. A_{n}^{4}　　
　C. A_{n}^{n - 4}　
　D. A_{n}^{n - 3}

答案： 解析：易得$4×5×\cdots×n = A_{n}^{n - 3}$.故选D.
答案：D

3.已知甲、乙、丙、丁四人获得城市荣誉称号，某记者对这四人进行采访，则不同的采访顺序有(　　)
A. 4种　　
　B. 12种　
　C. 18种　
　D. 24种

答案： 解析：由题意可得，不同的采访顺序有$A_{4}^{4}=24$(种).故选D.
答案：D

4. A_{7}^{7}-6A_{6}^{6}-6A_{5}^{5}=________.

答案： 解析：$A_{7}^{7}-6A_{6}^{6}-6A_{5}^{5}=7A_{6}^{6}-6A_{6}^{6}-A_{6}^{6}=0$.
答案：0

定义:各位数字之和为9的四位数叫“好运数”，比如1008,2205，则所有“好运数”的个数为(　　)
A. 165　　　B. 162　　　C. 156　　　D. 144
指津:根据定义分类讨论首位数字，结合计数原理计算即可.

答案： 解析：因为各位数字之和为9的四位数叫好运数，所以按首位数字分别计算，当首位数字为9，则剩余三个数字分别为0，0，0，共有1个好运数；当首位数字为8，则剩余三个数字分别为1，0，0，共有3个好运数；当首位数字为7，则剩余三个数字分别为1，1，0或2，0，0，共有3 + 3 = 6(个)好运数；当首位数字为6，则剩余三个数字分别为3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有$3+A_{3}^{3}+1 = 10$(个)好运数；当首位数字为5，则剩余三个数字分别为4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有$3+A_{3}^{3}+3 + 3 = 15$(个)好运数；当首位数字为4，则剩余三个数字分别为5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有$3+A_{3}^{3}+A_{3}^{3}+3 + 3 = 21$(个)好运数；当首位数字为3，则剩余三个数字分别为6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有$3+A_{3}^{3}+A_{3}^{3}+3 + 3+A_{3}^{3}+1 = 28$(个)好运数；当首位数字为2，则剩余三个数字分别为7，0，0或6，1，0或5，2，0或5，1，1或4，3，0或4，2，1或3，3，1或3，2，2，共有$3+A_{3}^{3}+A_{3}^{3}+3 + A_{3}^{3}+A_{3}^{3}+3 + 3 = 36$(个)好运数；当首位数字为1，则剩余三个数字分别为8，0，0或7，1，0或6，2，0或6，1，1或5，3，0或5，2，1或4，4，0或4，3，1或4，2，2或3，3，2，共有$3+A_{3}^{3}+A_{3}^{3}+3 + A_{3}^{3}+A_{3}^{3}+3 + A_{3}^{3}+3 + 3 = 45$(个)好运数；所以共有1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28 + 36 + 45 = 165(个)好运数.故选A.
答案：A