《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

学习目标一 离散型随机变量
师问：(1)随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？
(2)什么随机变量是离散型随机变量法？
生答：

答案：
(1)①有些随机试验的样本空间与数值有关系，我们可以直接与实数建立关系。
例如，掷一枚骰子用实数$m(m = 1,2,3,4,5,6)$表示“掷出的点数为$m$”，
又如，掷两枚骰子样本空间为$\Omega=\{(x,y)|x,y = 1,2,\cdots6\}$，用$x + y$表示“两枚骰子的点数之和”，样本点$(x,y)$就与实数$x + y$对应。
②有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系，可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值。例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关。如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义$X=\begin{cases}1,抽到次品\\0,抽到正品\end{cases}$，那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系。
(2)可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量我们称为离散型随机变量。

例1（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A.某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X
B.测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg之间的体重记为X
C.测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数记为X
D.一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X

答案： 解析:电话1小时内使用的次数是可以列举的，是离散型随机变量，选项A正确；
体重无法一一列举，选项B不正确；
人数可以列举，选项C正确；
数轴上的点有无数个，点的位置是连续型随机变量，选项D不正确。故选AC。
答案:AC

跟踪训练1（多选）下列X是离散型随机变量的是（ ）
A.某座大桥一天经过的车辆数X
B.在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η
C.一天之内的温度X
D.一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.

答案： 解析:A，B，D中的$X$取值均可一一列出，而C中的$X$是一个范围，不能一一列举出来。故选ABD。
答案:ABD

例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数.
(2)从标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和.

答案：
解析:
(1)设所需的取球次数为$X$，则$X = 1,2,3,4,\cdots,10,11$，$X = i$表示前$(i - 1)$次取到的均是红球，第$i$次取到白球，这里$i = 1,2,3,4,\cdots,11$。
(2)设所取卡片上的数字之和为$X$，则$X = 3,4,5,\cdots,11$。
$X = 3$，表示“取出标有1,2的两张卡片”；
$X = 4$，表示“取出标有1,3的两张卡片”；
$X = 5$，表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；
$X = 6$，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；
$X = 7$，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；
$X = 8$，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；
$X = 9$，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；
$X = 10$，表示“取出标有4,6的两张卡片”；
$X = 11$，表示“取出标有5,6的两张卡片”。

跟踪训练2 甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果.

答案： 解析:根据题意，可知$X$的可能取值为4,5,6,7。
$X = 4$表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局。
$X = 5$表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出。
$X = 6$表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出。
$X = 7$表示在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出。