《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例1 某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男、女团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会.(用数字做答)
(1)若至少有1名组长当选，求不同的选法总数；
(2)若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数；
(3)若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数.

答案： 解析:
(1)方法一(直接法)　至少有一名组长含有两种情况:有一名组长和两名组长，
故共有$C_{2}^{1}C_{10}^{4}+C_{2}^{2}C_{10}^{3}=540$种.
方法二(间接法)　至少有一名组长可以采用排除法，有$C_{12}^{5}-C_{10}^{5}=540$(种).
(2)至多有2名女团员含有三种情况:有2名女团员，有1名女团员，没有女团员，
故共有$C_{4}^{2}C_{8}^{3}+C_{4}^{1}C_{8}^{4}+C_{8}^{5}=672$(种).
(3)既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况，
第一类，女组长当选，有$C_{11}^{4}$种;
第二类，女组长不当选，男组长当选，有$C_{10}^{4}-C_{7}^{4}$种.
共有$C_{11}^{4}+C_{10}^{4}-C_{7}^{4}=505$(种).

跟踪训练1 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(用数字作答).
(1)既有内科医生，又有外科医生；
(2)至少有1名主任参加；
(3)既有主任，又有外科医生.

答案： 解析:
(1)既有内科医生，又有外科医生包括四种情况，
内科医生去1,2,3,4人，
得选派种数为$C_{6}^{1}C_{4}^{4}+C_{6}^{2}C_{4}^{3}+C_{6}^{3}C_{4}^{2}+C_{6}^{4}C_{4}^{1}=246$(种).
(2)分两类，
一是选1名主任有$C_{2}^{1}C_{8}^{4}=140$(种)方法;
二是选2名主任有$C_{2}^{2}C_{8}^{3}=56$(种)方法.
故至少有1名主任参加的选派方法共$140 + 56 = 196$(种).
(3)若选外科主任，则其余可任意选，共有$C_{9}^{4}=126$(种)选法;
若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生,有$C_{8}^{4}-C_{5}^{4}=65$(种)选法.
(也可以用直接法为$C_{3}^{1}C_{5}^{3}+C_{3}^{2}C_{5}^{2}+C_{3}^{3}C_{5}^{1}=65$)
故既有主任，又有外科医生的选派种数为$126 + 65 = 191$(种).

例2 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线.
(1)这9个点，可确定多少条不同的直线？
(2)以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形？

答案： 解析:
(1)方法一(直接法)　共线的4点记为A,B,C,D,
第一类，A,B,C,D确定1条直线;
第二类，A,B,C,D以外的5个点可确定$C_{5}^{2}$条直线;
第三类，从A,B,C,D中任取1点，其余5点中任取1点可确定$C_{4}^{1}C_{5}^{1}$条直线.
根据分类加法计数原理，共有不同直线$1 + C_{5}^{2}+C_{4}^{1}C_{5}^{1}=1 + 10 + 20 = 31$(条).
方法二(间接法)　9个点取2个点共有$C_{9}^{2}$种，
4个共线点取2个，共有$C_{4}^{2}$种，以上均表示同一条直线，则可确定不同的直线$C_{9}^{2}-C_{4}^{2}+1=31$(条).
(2)方法一(直接法)　第一类，从A,B,C,D中取2个点，可得$C_{4}^{2}C_{5}^{1}$个三角形;
第二类，从A,B,C,D中取1个点，可得$C_{4}^{1}C_{5}^{2}$个三角形;第三类，从其余5个点中任取3点，可得$C_{5}^{3}$个三角形.
共有$C_{4}^{2}C_{5}^{1}+C_{4}^{1}C_{5}^{2}+C_{5}^{3}=80$(个)三角形.
方法二(间接法)　9个点取3个点共有$C_{9}^{3}$种，
其中不能构成三角形的则是在4个共线点取3个，共有$C_{4}^{3}$种，
可确定三角形$C_{9}^{3}-C_{4}^{3}=80$(个).
(3)方法一(直接法)　分三类，从其余不共线的5个点中任取4个,3个,2个点，共得$C_{5}^{4}+C_{5}^{3}C_{4}^{1}+C_{5}^{2}C_{4}^{2}=105$(个)四边形.
方法二(间接法)　9个点取4个点共有$C_{9}^{4}$种，其中不构成四边形的分为两类，第一类，4个点共线则有$C_{4}^{4}$种;
第二类，其中3点来自于共线的4点，第4点来自于其余的5个点，则共有$C_{4}^{3}C_{5}^{1}$种.
可确定的四边形有$C_{9}^{4}-C_{4}^{4}-C_{4}^{3}C_{5}^{1}=105$(个).

跟踪训练2 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中任取4个点，这4点不共面的取法共有多少种？

答案：
解析:从10个点中取4个点，共有$C_{10}^{4}=210$(种)选法，其中这4点共面有以下三种情况，
第一，这4个点均在四面体ABCD的某一个平面上，有$4C_{6}^{4}=60$(种)选法;
第二，这4个点位于相对的两条棱上，其中3点位于某条棱上，另一点为相对棱的中点，比如A，F，C，H四点，此时共有6种情况；　　　　　　
第三，这4个点全为棱的中点，刚好组成平行四边形，比如E，F，S，H，此时共有3种情况。
　　　　　　　　
所以这4点不共面的取法共有$210 - 60 - 6 - 3 = 141$(种).