《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

师问：(1)小张同学要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
(2)小张同学要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？
(3)以上两种选择方式有什么不同？
生答：

答案： 生答:
(1)选择方式有$A_{3}^{2}=6$种.
(2)选择方式有$C_{3}^{2}=3$种.
(3)前者选出的学校是要排列顺序的，而后者选出的学校不需要排列顺序.

例1 判断下列问题是排列问题还是组合问题。
(1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？

答案： 例1　解析:
(1)是排列问题.因为发信人与收信人是有区别的.
(2)是组合问题.因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别.
(3)是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别.
(4)是排列问题.因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的.

跟踪训练1 (多选)给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B.有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C.某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D.从2,3,5,7,11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积

答案： 跟踪训练1　解析:对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题;对于B,从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题;对于C,射击命中不涉及顺序问题，是组合问题;对于D,乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.故选BCD.
答案:BCD

师问：我们能否利用组合和排列这种关系，由排列数$A_{n}^{m}$来求组合数$C_{n}^{m}$呢？
生答：

答案： 生答:能，下面从4个元素取出3个元素的排列与组合来分析，从4个元素取出3个元素的排列数为$A_{4}^{3}=24$，组合数为$C_{4}^{3}=4$，比较发现组合数$C_{4}^{3}=\frac{24}{6}=\frac{A_{4}^{3}}{3!}=4$，所以$C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$.

例2 (1)已知$C_{8}^{m}=C_{8}^{2m - 1}$，则$m$等于（ ）
A.1
B.3
C.1或3
D.1或4
(2)证明：$C_{n}^{k}\cdot C_{n - k}^{m - k}=C_{n}^{m}\cdot C_{m}^{k}$。

答案： 例2　解析:
(1)由$C_{8}^{m}=C_{8}^{2m - 1}$可知，$m = 2m - 1$或者$m + 2m - 1 = 8$，解得$m = 1$或$m = 3$.故选C.
(2)证明:因为$C_{n}^{k}\cdot C_{n - k}^{m - k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}\cdot\frac{(n - k)!}{(m - k)!(n - m)!}=\frac{n!}{k!(m - k)!(n - m)!}$，
$C_{n}^{m}\cdot C_{m}^{k}=\frac{n!}{m!(n - m)!}\cdot\frac{m!}{k!(m - k)!}=\frac{n!}{k!(n - m)!(m - k)!}$，
所以$C_{n}^{k}\cdot C_{n - k}^{m - k}=C_{n}^{m}\cdot C_{m}^{k}$.