《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例3 将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，求按照下列条件分配的方法种数.
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子.

答案： 解析：
(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有$C_{5}^{3}=10$种方法。
(2)恰有一个空盒子，分两步进行.先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如“|○|○○○|○○|”(其中“|”表示隔板，“○”表示小球)，有$C_{5}^{2}$种插法，然后将剩下的一块隔板与放置的隔板中任意一块并放形成空盒，如“|○|○○○||○○|”，有$C_{4}^{1}$种插法，故共有$C_{5}^{2}\cdot C_{4}^{1}=40$(种)方法。
(3)恰有两个空盒子，分两步进行.先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有$C_{5}^{1}$种插法，如“|○○|○○○○|”，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.
①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如“||○○||○○○○|”，有$C_{3}^{2}$种插法;
②将两块板与前面三块板之一并放，如“|○○|||○○○○|”，有$C_{3}^{1}$种插法.
故共有$C_{5}^{1}\cdot (C_{3}^{2}+C_{3}^{1})=30$(种)方法。

跟踪训练3 学校将7个三好学生名额分配给4个班，每个班至少一个名额，则分配方案共有______种.

答案： 解析:将7个三好学生名额看做7个完全一样的小球，将小球排成一排，在6个空中插入3个隔板，将小球分成4组，每组小球的个数对应班级的三好学生名额，故分配方案共有$C_{6}^{3}=20$(种).
答案:20

1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A.14
B.24
C.28
D.48

答案： 解析:从6名学生中选派4人有$C_{6}^{4}=15$(种)选法，从6名学生中选派4人，没有女生有1种选法，要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为$15 - 1 = 14$(种).故选A.
答案:A

2.新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（ ）
A.14种
B.15种
C.16种
D.17种

答案： 解析:由题意得，物理或历史中选一门有$C_{2}^{1}\cdot C_{4}^{2}=12$(种)选法;物理和历史都选有$C_{4}^{1}=4$种选法.物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有$12 + 4 = 16$(种).故选C.
答案:C

3.某中学举行全区教研活动，有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则教研活动当天不同的排班种数为（ ）
A.$\frac{C_{10}^{9}C_{9}^{3}C_{6}^{3}}{A_{2}^{2}}$
B.$C_{10}^{3}C_{7}^{3}C_{4}^{3}$
C.$\frac{C_{10}^{9}C_{9}^{3}C_{6}^{3}}{A_{3}^{3}}$
D.$A_{10}^{3}A_{7}^{3}A_{4}^{3}$

答案： 解析:首先从10人中选出3人上早班，共有$C_{10}^{3}$种，从剩下的7人中选出3人上中班，共有$C_{7}^{3}$种，再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有$C_{4}^{3}$种，共有$C_{10}^{3}C_{7}^{3}C_{4}^{3}$种.故选B.
答案:B

4.空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成______个四面体.

答案： 解析:由题意得，空间内7个点，若其中有且只有4点共面，且需围成立体图形，故围成四面体个数为$C_{7}^{4}-C_{4}^{4}=34$(个).
答案:34

方程$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=9$的非负整数解个数为（ ）
A.220
B.120
C.84
D.24

答案： 解析:将方程$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=9$中的9视为9个相同的小球，$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$看作4个不同的小盒.根据组合的知识，共有组合种数为$C_{9 + 4 - 1}^{4 - 1}$，即$C_{12}^{3}=220$种.故所求方程的非负整数解的组数为220.
答案:A