《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例1 一个袋中装有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设$X = \begin{cases}0,摸出白球,\\1,摸出红球,\end{cases}$求$X$的分布列；
(2)从中任意摸出2个球，设$\eta = \begin{cases}0,2个球全是白球,\\1,2个球不全是白球,\end{cases}$求$\eta$的分布列.

答案：
解析:
(1)依题意，X服从两点分布，
　P(X=0)=$\frac{C_{3}^{1}}{C_{7}^{1}}$=$\frac{3}{7}$，P(X=1)=$\frac{C_{4}^{1}}{C_{7}^{1}}$=$\frac{4}{7}$，
　所以X的分布列为

(2)由题意知，P(η=0)=$\frac{C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}}$=$\frac{1}{7}$，
　P(η=1)=$\frac{C_{3}^{1}C_{4}^{1}+C_{4}^{2}}{C_{7}^{2}}$=$\frac{6}{7}$，
　所以η的分布列为

跟踪训练1 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量$X$表示抽取的2件产品中的次品数，求$X$的概率分布.

答案：
解析:由题意知，X服从两点分布，
　P(X=0)=$\frac{C_{199}^{2}}{C_{200}^{2}}$=$\frac{99}{100}$，所以P(X=1)=1−$\frac{99}{100}$=$\frac{1}{100}$，
　所以随机变量X的概率分布为
　　　　　　

例2 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人. 将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型为随机变量$X$，求随机变量$X$的分布列.

答案：
解析:根据古典概型概率公式，写出随机变量对应的概率，即可求解分布列.
由题意知，X的可能取值为1,2,3,4.
　P(X=1)=$\frac{C_{10}^{1}}{C_{45}^{1}}$=$\frac{2}{9}$，P(X=2)=$\frac{C_{12}^{1}}{C_{45}^{1}}$=$\frac{4}{15}$，
　P(X=3)=$\frac{C_{8}^{1}}{C_{45}^{1}}$=$\frac{8}{45}$，P(X=4)=$\frac{C_{15}^{1}}{C_{45}^{1}}$=$\frac{1}{3}$.
　故随机变量X的分布列为

跟踪训练2 某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选3人外出比赛. 设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为$X$，求$X$的分布列.

答案：
解析:由题意知，X的可能取值为−3，−1,1，
　P(X=−3)=$\frac{C_{4}^{3}}{C_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P(X=−1)=$\frac{C_{2}^{1}C_{4}^{2}}{C_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
　P(X=1)=$\frac{C_{2}^{2}C_{4}^{1}}{C_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
　所以X的分布列为