《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

师问:(1)从有a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回. 显然,第1次摸到红球的概率为$\frac{a}{a + b}$. 那么第2次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢?
(2)你能证明第2次摸到红球的概率是$\frac{a}{a + b}$吗?你是怎样证明的?
(3)根据刚才的证明方法,将以上的问题一般化,你能得到什么结果吗? 即设$A_1,A_2,\cdots,A_n$是一组两两互斥的事件,$A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\Omega$,且$P(A_i)＞0,i = 1,2,\cdots,n$,则对于任意事件$B\subseteq\Omega$,求事件B的概率$P(B)$.
生答：

答案：
生答:
(1)因为抽签具有公平性,所以第2次摸到红球的概率也应该是$\frac{a}{a + b}$.
(2)用$R_{i}$表示事件“第$i$次摸到红球”，$B_{i}$表示事件“第$i$次摸到蓝球”，$i = 1,2$. 如图所示，

事件$R_{2}$可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即$R_{2}=R_{1}R_{2}\cup B_{1}R_{2}$. 利用概率的加法公式和乘法公式，得
$P(R_{2}) = P(R_{1}R_{2}\cup B_{1}R_{2}) = P(R_{1}R_{2}) + P(B_{1}R_{2}) =$
$P(R_{1})\cdot P(R_{2}|R_{1})+P(B_{1})P(R_{2}|B_{1})=\frac{a}{a + b}\times\frac{a - 1}{a + b - 1}+$
$\frac{b}{a + b}\times\frac{a}{a + b - 1}=\frac{a}{a + b}$.
(3)$P(B)=\sum_{i = 1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})$.

例1 一个盒子中有6个白球、4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次. 求：
(1)第一、第二次都取得白球的概率；
(2)已知第一次取得黑球,求第二次取得白球的概率；
(3)求第二次取得白球的概率.

答案： 解析:
(1)记事件$A$为“第一次取到白球”，事件$B$为“第二次取到白球”，事件$\overline{A}$为“第一次未取到白球”，
则第一、第二次都取得白球为事件$AB$.
根据题意可得$P(B|A)=\frac{5}{9}$，
所以$P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac{6}{10}\times\frac{5}{9}=\frac{1}{3}$，
所以第一、第二次都取得白球的概率为$\frac{1}{3}$.
(2)根据题意可得$P(B|\overline{A})=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，
所以已知第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为$\frac{2}{3}$.
(3)根据题意可得$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)=P(A)P(B|A)+$
$P(\overline{A})P(B|\overline{A})=\frac{6}{10}\times\frac{5}{9}+\frac{4}{10}\times\frac{6}{9}=\frac{3}{5}$，
所以第二次取得白球的概率为$\frac{3}{5}$.

跟踪训练1 某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查. 参加活动的甲、乙两班的人数之比为5 : 3,其中甲班中女生占$\frac{3}{5}$,乙班中女生占$\frac{1}{3}$. 求该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.

答案： 解析:记$A$与$\overline{A}$分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，$B$表示是女生，
由题意可得$P(A)=\frac{5}{5 + 3}=\frac{5}{8}$，$P(\overline{A})=\frac{3}{8}$，$P(B|A)=\frac{3}{5}$，
$P(B|\overline{A})=\frac{1}{3}$，
由全概率公式可得$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})$
$=\frac{5}{8}\times\frac{3}{5}+\frac{3}{8}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，
故该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为$\frac{1}{2}$.