《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例3 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法？

答案： 解析:
(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有$\frac{A_{7}^{7}}{A_{2}^{2}}=2520$(种)不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的$\frac{1}{A_{3}^{3}}$，故有$\frac{A_{7}^{7}}{A_{3}^{3}}=840$(种)不同的排法.

跟踪训练3 (1)把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有（ ）
A.48种
B.24种
C.60种
D.120种

答案： 解析:
(1)五门课程随意安排有$A_{5}^{5}$种排法，数学课在历史课前和历史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史课前的排法有$\frac{1}{2}A_{5}^{5}=60$(种).故选C.

(2)用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有________个七位数符合条件.

答案：
(2)若1,3,5,7的顺序不定，排法有$A_{4}^{4}=24$(种)，故1,3,5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的$\frac{1}{24}$，故符合条件的七位数为$\frac{1}{24}A_{7}^{7}=210$(种).
　答案:
(1)C　
(2)210

1.甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为（ ）
A.36
B.60
C.72
D.90

答案： 解析:先安排甲从除左端和右端的三个位置中选一个站，有$A_{3}^{1}=3$种站法；将剩余的人任意排序，有$A_{4}^{4}=24$种站法.由分步乘法计数原理可得，不同站法数有$3×24 = 72$(种).故选C.答案:C

2.3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（ ）
A.24
B.48
C.96
D.120

答案： 解析:根据捆绑法，“先捆再松”.可以将女生看作一个整体与男生全排，有$A_{4}^{4}=24$种，女生再排有$A_{2}^{2}=2$种，则女生相邻的排法种数是$2×24 = 48$(种).故选B.
　答案:B

3.书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有（ ）
A.30种
B.90种
C.120种
D.150种

答案： 解析:书架原有的四本书形成5个空，先选出一个空放入人物传记有5种放法，这样五本书之间有6个空，将两本不同的长篇小说选两个空插入即可不相邻，共有$5A_{6}^{2}=150$(种)放法.故选D.
　答案:D

4.有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有____________种不同的站法.(用数字作答)

答案： 解析:因为共8位同学站成一排，原来6位同学的相对顺序保持不变，所以共有$\frac{A_{8}^{8}}{A_{6}^{6}}=7×8 = 56$(种)不同站法.
　答案:56

五一假期期间，一家6人(4名大人和2名小孩)在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（ ）
A.48种
B.72种
C.90种
D.108种

答案： 解析:设4名大人按身高由小到大依次为$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$，可知前排大人不能为$a_{4}$，若前排大人为$a_{1}$，则任意排列均可，则不同的排法有$A_{3}^{3}A_{3}^{3}=36$(种)；若前排大人为$a_{2}$，则$a_{2}$身后不能为$a_{1}$，则不同的排法有$A_{3}^{3}A_{2}^{1}A_{2}^{2}=24$(种)；若前排大人为$a_{3}$，则$a_{3}$身后只能为$a_{4}$，则不同的排法有$A_{3}^{3}A_{2}^{2}=12$(种).综上所述，不同的排法共有$36 + 24 + 12 = 72$(种).故选B.
答案:B