《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例1　下列试验是否为n重伯努利试验:
　(1)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1个球，记下颜色后放回，连续取球2次;
　(2)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1个球，不放回，连续取球2次.

答案： 解析：
(1)是n重伯努利试验，因为每次试验的条件相同，且每次试验的结果互不影响，同一事件发生的概率也相同.
(2)不是n重伯努利试验，因为每次试验的条件不同(每次取球后不放回，下次取球与上次取球时袋中球的数目不同)，并且每次试验中同一事件发生的概率不同.

跟踪训练1　(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　
A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
　
C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
　
D.在相同的条件下，甲射击10次,5次击中目标

答案： 解析：AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验；B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环”的概率不一定相同，因此不是独立重复试验；D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验.故选ABC.
答案：ABC

例2　在一个袋子里有大小一样的5个小球，其中有3个红球和2个白球.
　　(1)若有放回地每次从中摸出1个球，连摸3次,设摸到红球的次数为X,求随机变量X的概率分布及期望;
　　(2)若每次任意取出1个球，记录颜色后放回袋中,直到取到两次红球就停止,设取球的次数为Y，求Y=4的概率.

答案：
解析：
(1)由题意分析$X\sim B(3,\frac{3}{5})$，X的可能值为0，1，2，3，
所以$P(X = 0) = (1 - \frac{3}{5})^{3}=\frac{8}{125}$，$P(X = 1) = C_{3}^{1}×\frac{3}{5}×(1 - \frac{3}{5})^{2}=\frac{36}{125}$，$P(X = 2) = C_{3}^{2}×(\frac{3}{5})^{2}×(1 - \frac{3}{5})=\frac{54}{125}$，$P(X = 3) = C_{3}^{3}×(\frac{3}{5})^{3}=\frac{27}{125}$.
所以X的分布列为

$E(X)=3×\frac{3}{5}=\frac{9}{5}$.
(2)依题意，每次取到红球的概率为$\frac{3}{5}$，取到白球的概率为$\frac{2}{5}$.
Y = 4即是“前3次只有1次取到红球，其余2次取到白球，第4次取到红球”，
所以$P(Y = 4) = C_{3}^{1}×\frac{3}{5}×(\frac{2}{5})^{2}×\frac{3}{5}=\frac{108}{625}$.