《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

跟踪训练3 某学校组织“数学文化”知识竞赛，竞赛中有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在这两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束，A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.6，能正确回答B类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列.
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请说明理由.

答案：
解析:
(1)随机变量$X$的所有可能取值为0，10，30，
则$P(X = 0)=1 - 0.6 = 0.4$，$P(X = 10)=0.6\times(1 - 0.4)=0.36$，$P(X = 30)=0.6\times0.4 = 0.24$.
故随机变量$X$的分布列为

(2)若小明先回答$B$类问题，记$Y$为小明的累计得分，
则随机变量$Y$的所有可能取值为0，20，30，
则$P(Y = 0)=1 - 0.4 = 0.6$，$P(Y = 20)=0.4\times(1 - 0.6)=0.16$，$P(Y = 30)=0.4\times0.6 = 0.24$，
则$E(Y)=0\times0.6+20\times0.16+30\times0.24 = 10.4$.
由
(1)知，$E(X)=0\times0.4+10\times0.36+30\times0.24 = 10.8$.
因为$E(Y)\lt E(X)$，所以小明应选择先回答$A$类问题.

1.已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.7，则其成功概率为 （ ）
A.0
B.1
C.0.3
D.0.7

答案： 解析:$\because$随机变量$X$服从两点分布，设成功的概率为$p$，
$\therefore E(X)=0\times(1 - p)+1\times p = p = 0.7$. 故选D.
答案:D

2.已知随机变量X的概率分布为

则X的均值为 （ ）

A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.0.7

答案： 解析:由题意得，$0.1 + 0.3 + m + 0.1 = 1$，得$m = 0.5$，所以$E(X)=-1\times0.1+0\times0.3+1\times0.5+2\times0.1 = 0.6$. 故选C.
答案:C

3.已知某一离散型随机变量X的分布列，且E(X)=6.2，则a的值为 （ ）

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 解析:依题意可得$\begin{cases}0.5 + 0.1 + b = 1\\4\times0.5 + a\times0.1 + 9b = 6.2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}b = 0.4\\a = 6\end{cases}$，故选B.
答案:B

4.某金店用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个秤盘中)，今有5件物品，其质量分别为50克，60克、70克、80克、90克，有4个砝码，质量分别为10克、20克、30克、40克.若要求每次称量时所用的砝码数量最少，则用天平随机称某件物品(每件物品被选中的概率相同)的质量，所用的砝码数量的期望值为_______.

答案：
解析:设$\xi$表示所用的最少砝码数，则可列表如下

又每件物品被选中的概率均为$\frac{1}{5}$，所以$E(\xi)=\frac{1}{5}(2 + 2 + 2 + 3 + 3)=\frac{12}{5}$.
答案:$\frac{12}{5}$

某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则ab的最大值为 （ ）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： 解析:比赛两局的得分$X$可能的取值为0，1，2，3，4，6，
$P(X = 0)=c^2$，$P(X = 1)=2bc$，$P(X = 2)=b^2$，$P(X = 3)=2ac$，$P(X = 4)=2ab$，$P(X = 6)=a^2$，
则$E(X)=2bc + 2b^2 + 6ac + 8ab + 6a^2 = 2b(1 - a - b)+2b^2 + 6a(1 - a - b)+8ab + 6a^2 = 6a + 2b = 2$，
则有$3a + b = 1\geq2\sqrt{3ab}$，得$ab\leq\frac{1}{12}$，当且仅当$3a = b$，即$a=\frac{1}{6}$，$b=\frac{1}{2}$时等号成立，
所以$ab$的最大值为$\frac{1}{12}$. 故选B.
答案:B