《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例 1 （1）在端午小长假期间，某办公室要从 4 名职员中选出若干人在 3 天假期坚守岗位，每天只需 1 人值班，则不同的排班方法有 （ ）
A.12 种 B.24 种 C.64 种 D.81 种
（2）某小组 5 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有 1 人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有 （ ）
A.9 种 B.11 种 C.44 种 D.45 种

答案：
解析:
(1)根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法;同理第二天和第三天也有4种排班方法.根据分步乘法计数原理可知，不同的排班方法有4×4×4=64(种).故选C.
(2)除抽到自己的人，其他4人各写一张贺年卡集中起来，再每人从中抽取一张，标记这4人为B，C，D，E，其对应的贺年卡为b，c，d，e，则4人均未抽到自己的贺年卡情况如下列树状图所示。

由树状图可知，这4人均未抽到自己贺年卡情况下抽到的贺年卡情况共有9种，所以5人各写一张贺年卡，集中起来再每人从中抽取一张，恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有5×9=45(种).故选D.
答案:
(1)C　
(2)D

跟踪训练 1 某公司新招聘进 8 名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中 2 名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外 3 名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是 （ ）
A.18
B.24
C.36
D.72

答案： 解析:由题意可得，分两类，①甲部门要1名英语翻译人员,2名电脑编程人员，共有2×3×3=18(种);②甲部门要1名英语翻译人员，1名电脑编程人员，共有2×3×3 =18(种).由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36(种).故选C.
答案:C

例 2 从 0，1，2，3，4 五个数字中选出 3 个数字组成一个三位数.
（1）可以组成多少个三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？

答案： 解析:
(1)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0.因此，根据分步乘法计数原理共有4×5×5=100(个).
(2)三位数的首位不能为0，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二位可以排0，除首位排的数字共有4种方法，第三位除前两位排的数字共有3种方法.因此，根据分步乘法计数原理共有4×4×3=48(个).
(3)偶数末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，
一类是末位数字是0,则有4×3=12(种)排法;
一类是末位数字不是0,则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3=18(种)排法.
因此有12+18=30(种)排法，即可以排成30个无重复数字的三位偶数.

跟踪训练 2 有 0，1，2，3，4 五个数字，问：
（1）可以组成多少个无重复数字的四位密码？
（2）可以组成多少个无重复数字的四位数？

答案： 解析:
(1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤，
第1步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法;第2步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法;第3步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法;第4步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位密码共
有N=5×4×3×2=120(个).
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤，
第1步，从1,2,3,4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法;
第2步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法;
第3步，从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法;
第4步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法.
由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位数共有N=4×4×3×2=96(个).