《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

跟踪训练2　某公司的一次招聘中，应聘者都要经过
A、B、C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是$\frac{1}{2}$.
　(1)求甲被录用的概率;
　(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.

答案：
解析：
(1)通过两个项目测试的概率为$C_{3}^{2}(\frac{1}{2})^{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，
通过三个项目测试的概率为$C_{3}^{3}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$，
则甲被录用的概率为$\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.
(2)由于甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是$\frac{1}{2}$，由此知甲、乙、丙被录用的概率都是$\frac{1}{2}$，所以$X\sim B(3,\frac{1}{2})$，
所以$P(X = 0) = C_{3}^{0}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$，
$P(X = 1) = C_{3}^{1}\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{8}$，
$P(X = 2) = C_{3}^{2}(\frac{1}{2})^{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$，
$P(X = 3) = C_{3}^{3}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$.
所以X的分布列为

　师问:若随机变量X服从二项分布B(n,p),那么X的均值和方差是什么？
　生答:

答案： $E(X)=np;D(X)=np(1 - p)$.

例3　一出租车司机从某饭店到火车站途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是$\frac{1}{3}$.
　(1)求这位司机遇到红灯数X的均值与方差.
　(2)若遇上红灯，则需等待30秒,求司机总共等待时间Y的均值与方差.

答案： 解析：
(1)由题意得这位司机遇到红灯数X服从二项分布$X\sim B(5,\frac{1}{3})$，
所以$E(X)=5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$，$D(X)=5×\frac{1}{3}×(1 - \frac{1}{3})=\frac{10}{9}$.
(2)由题意得Y = 30X，由
(1)得$E(X)=\frac{5}{3}$，$D(X)=\frac{10}{9}$，
所以$E(Y)=30E(X)=30×\frac{5}{3}=50$，$D(Y)=30^{2}·D(X)=900×\frac{10}{9}=1000$.

跟踪训练3　某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为$\frac{3}{4}$,某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次.
　(1)求他们中成功咨询的人数X的分布列;
　(2)求E(X)与D(X)的值.

答案：
解析：
(1)依题意知$X\sim B(3,\frac{3}{4})$，
且$P(X = k) = C_{3}^{k}×(\frac{3}{4})^{k}×(\frac{1}{4})^{3 - k},k = 0,1,2,3$，
$P(X = 0) = C_{3}^{0}×(\frac{3}{4})^{0}×(\frac{1}{4})^{3}=\frac{1}{64}$，
$P(X = 1) = C_{3}^{1}×\frac{3}{4}×(\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{64}$，
$P(X = 2) = C_{3}^{2}×(\frac{3}{4})^{2}×\frac{1}{4}=\frac{27}{64}$，
$P(X = 3) = C_{3}^{3}×(\frac{3}{4})^{3}=\frac{27}{64}$.
∴X的分布列为

(2)由$X\sim B(3,\frac{3}{4})$及二项分布的性质得，
$E(X)=np=3×\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$，
$D(X)=np(1 - p)=3×\frac{3}{4}×(1 - \frac{3}{4})=\frac{9}{16}$.

1.在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设X表示这10件产品中的次品数，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.X~B(100,0.05)　　B.X~B(10,0.05)
　
C.X~B(1000,95)　　　D.X~B(10,0.95)

答案： 解析：有放回抽取，每次取到次品的概率都是$\frac{5}{100}=0.05$，相当于10次独立重复的伯努利实验，所以服从二项分布$X\sim B(10,0.05)$.故选B.
答案：B

2.某一批种子的发芽率为$\frac{2}{3}$.从中随机选择3颗种子进行播种,那么恰有2颗种子发芽的概率为　(　　　)
　
A.$\frac{2}{9}$　　
　B.$\frac{8}{27}$　　　
　C.$\frac{4}{9}$　　
　D.$\frac{2}{3}$

答案： 解析：由题意可知种子发芽的颗数X服从二项分布$X\sim B(3,\frac{2}{3})$，所以恰好有2颗种子发芽的概率为$C_{3}^{2}(\frac{2}{3})^{2}×\frac{1}{3}=\frac{4}{9}$.故选C.
答案：C

3.已知随机变量S服从二项分布S~B(6,$\frac{1}{3}$),即P(S=2)等于　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$\frac{3}{16}$　　
　B.$\frac{1}{243}$　　
　C.$\frac{13}{243}$　　
　D.$\frac{80}{243}$

答案： 解析：因为随机变量$\xi$服从二项分布$\xi\sim B(6,\frac{1}{3})$，
所以$P(\xi = 2) = C_{6}^{2}(\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{4}=\frac{80}{243}$.故选D.
答案：D

4.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),且X的期望E(X)=4,方差D(X)=2,则n=________.

答案： 解析：依题意$X\sim B(n,p)$，所以$E(X)=np = 4$，$D(X)=np(1 - p)=2$，解得$p=\frac{1}{2}$，$n = 8$.
答案：8

在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$\frac{4}{81}$　　　B.$\frac{8}{81}$　　　　C.$\frac{16}{81}$　　　D.$\frac{8}{27}$

答案： 解析：因为逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，所以逆时针方向跳的概率是$\frac{2}{3}$，顺时针方向跳的概率是$\frac{1}{3}$，若青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳.若先按逆时针开始从A→B，则剩余3次中有1次是按逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为$\frac{2}{3}×C_{3}^{1}×\frac{2}{3}×(\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{27}$；若先按顺时针开始从A→C，则剩余3次中有1次是按顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为$\frac{1}{3}×C_{3}^{1}×\frac{1}{3}×(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{27}$.故跳四次之后停在A叶上的概率为$\frac{4}{27}+\frac{4}{27}=\frac{8}{27}$.故选D.
答案：D

　温馨提示:请完成课时作业18

答案：