《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例2 对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查,市场占有率数据如下：
(1)从所有品牌手机中随机抽取2部,求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率；
(2)已知所有品牌手机中,甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4 000元的占比分别为40％,30％,50％,从所有品牌手机中随机抽取1部,求该手机价位不超过4 000元的概率.

答案： 解析:
(1)方法一　随机抽取1部手机，是甲品牌的概率为0.5，
$\therefore$抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率$P = 1-(1 - 0.5)^{2}=0.75$.
方法二　随机抽取1部手机，是甲品牌的概率为0.5，
$\therefore$抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率$P = 0.5\times0.5 + 2\times0.5\times(1 - 0.5)=0.75$.
(2)从该地区所有品牌手机中随机抽取1部，
记事件$A_{1}$，$A_{2}$，$A_{3}$分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”，
记事件$B$为“抽取的手机价位不超过4 000元”，
则$P(A_{1}) = 0.5$，$P(A_{2}) = 0.3$，$P(A_{3}) = 0.2$，
$P(B|A_{1}) = 0.4$，$P(B|A_{2}) = 0.3$，$P(B|A_{3}) = 0.5$，
所以$P(B)=P(A_{1}B)+P(A_{2}B)+P(A_{3}B)$
$=P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})+P(A_{3})P(B|A_{3})$
$=0.5\times0.4 + 0.3\times0.3 + 0.2\times0.5 = 0.39$，
该手机价位不超过4 000元的概率为0.39.

例3 李教授去参加学术会议,他乘坐飞机,动车和自己开车的概率分别为0.3,0.5,0.2,现在知道他乘坐飞机,动车和自己开车迟到的概率分别为$\frac{1}{7}$,$frac{1}{5}$,$\frac{1}{4}$.
(1)求李教授迟到的概率；
(2)现在已经知道李教授迟到了,求李教授是自己开车的概率.

答案： 解析:
(1)设$A=$“李教授迟到”；$B_{1}=$“乘飞机”；$B_{2}=$“乘动车”；$B_{3}=$“自己开车”；
则$P(B_{1})=\frac{3}{10}$，$P(A|B_{1})=\frac{1}{7}$，$P(B_{2})=\frac{1}{2}$，$P(A|B_{2})=$
$\frac{1}{5}$，$P(B_{3})=\frac{1}{5}$，$P(A|B_{3})=\frac{1}{4}$，
由全概率公式得$P(A)=P(B_{1})P(A|B_{1})+P(B_{2})P(A|B_{2})+$
$P(B_{3})P(A|B_{3})=\frac{3}{10}\times\frac{1}{7}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{27}{140}$.
(2)由题意可知所求概率为$P(B_{3}|A)$，
由贝叶斯公式得$P(B_{3}|A)=\frac{P(AB_{3})}{P(A)}=\frac{P(B_{3})P(A|B_{3})}{P(A)}=$
$\frac{\frac{1}{5}\times\frac{1}{4}}{\frac{27}{140}}=\frac{7}{27}$.