《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例4 单位面积穗数、穗粒数、千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表：
其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表. 从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1 000粒，分别称重，得到这5组的质量(单位：g)分别为：38，46，42，40，44.
(1)根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量(结果四舍五入到1 kg)；公式：亩产量 = 亩穗数×样本平均穗粒数×样本平均千粒重÷1 000.
(2)已知该试验田穗粒数$X$近似服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，其中$\mu$近似为样本平均数，$\sigma^{2}$近似为样本方差. 若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的80％，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种.
参考数据：若$X$近似服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(\mu-\sigma＜X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827$.

答案： 解析：
(1)该试验田样本平均穗粒数为$15\times\frac{4}{100}+25\times\frac{10}{100}+35\times\frac{56}{100}+45\times\frac{22}{100}+55\times\frac{8}{100}=37$，
样本平均千粒重为$\frac{38 + 46+42 + 40+44}{5}=42(g)$，
所以这块试验田的小麦亩产量的估计值为$40\times10^{4}\times37\times\frac{42}{1000}=621600(g)=621.6kg\approx622kg$。
(2)由
(1)得$\mu = 37$，
$\sigma^{2}=(15 - 37)^{2}\times\frac{4}{100}+(25 - 37)^{2}\times\frac{10}{100}+(35 - 37)^{2}\times\frac{56}{100}+(45 - 37)^{2}\times\frac{22}{100}+(55 - 37)^{2}\times\frac{8}{100}=76$，
所以$\sigma=\sqrt{76}＜9$，
由$P(X\geq28)＞P(X＞\mu-\sigma)$得$P(X＞\mu-\sigma)=\frac{1}{2}P(\mu-\sigma＜X\leq\mu+\sigma)+0.5=\frac{1}{2}\times0.6827 + 0.5 = 0.84135$，故$P(X\geq28)＞80\%$，
所以该试验田中的小麦为优质小麦品种。

跟踪训练4 (1)(多选)为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛. 统计结果显示，学生成绩(满分100分)$X\sim N(70,\sigma^{2})$，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20％. 若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为$Y$，则（ ）
A. 该知识竞赛的及格率为80％
B. $P(Y = 2)=\frac{12}{25}$
C. $E(Y)=4$
D. $D(Y)=\frac{2}{5}$

答案： 解析：
(1)对于A，由题意可得$P(X\geq80)=0.2$，则$P(X\leq60)=0.2$，即$P(X\geq60)=1 - 0.2 = 0.8$，故A正确；
对于B，$P(Y = 2)=C_{5}^{2}\times0.8^{2}\times0.2^{3}=10\times\frac{16}{25}\times\frac{1}{125}=\frac{32}{625}$，故B错误；
对于C，由题意可得$Y\sim B(5,0.8)$，则$E(Y)=5\times0.8 = 4$，故C正确；
对于D，$D(Y)=5\times0.8\times0.2 = 0.8$，故D错误。故选AC。
答案：
(1)AC

(2)某市2024年中考市区考生约15 600人，考生的成绩$X$(含优惠)近似服从正态分布：$X\sim N(510,\sigma^{2})$，已知$P(420\leq X\leq600)\approx0.490$，则该市区本次中考成绩在600分以上的人数约为________人.

答案： 解析：
(2)由$X\sim N(510,\sigma^{2}),P(420\leq X\leq600)\approx0.490$，
得$P(X＞600)=\frac{1}{2}[1 - P(420\leq X\leq600)]=0.255$，
所以本次中考成绩在600分以上的人数约为$15600\times0.255 = 3978$(人)。
答案：
(2)3978