《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

跟踪训练2 (1)已知$C_{12}^{6 - x}=C_{12}^{2x - 3}$，则$x$的值是（ ）
A.3
B.6
C.9
D.3或9
(2)不等式$C_{10}^{n - 3}＜C_{10}^{n - 2}$的解为________。

答案： 跟踪训练2　解析:
(1)由$C_{12}^{6 - x}=C_{12}^{2x - 3}$，得$6 - x = 2x - 3$或$6 - x + 2x - 3 = 12$，解得$x = 3$或$x = 9$.当$x = 9$时，$6 - x = - 3$，不符合组合数的定义，所以舍去.故选A.
(2)依题意$\begin{cases}0\leq n - 3\leq10\\0\leq n - 2\leq10\end{cases}$，所以$3\leq n\leq12$，且$n\in N^{*}$，
由$C_{10}^{n - 3}＜C_{10}^{n - 2}$
得$\frac{10!}{(n - 3)!\times(13 - n)!}＜\frac{10!}{(n - 2)!\times(12 - n)!}$，
$\frac{1}{13 - n}＜\frac{1}{n - 2}$，$n - 2＜13 - n$，$3\leq n＜7.5$，
所以不等式的解为$\{3,4,5,6,7\}$.
答案:
(1)A　
(2)$\{3,4,5,6,7\}$

例3 在一次数学竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训。在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加。

答案： 例3　解析:
(1)从中任取5人是组合问题，共有$C_{10}^{5}=252$种不同的选法.
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外7人中选2人，是组合问题，共有$C_{7}^{2}=21$(种)不同的选法.
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的7人中选5人，共有$C_{7}^{5}=C_{7}^{2}=21$(种)不同的选法.
(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步，先从甲、乙、丙中选1人,有$C_{3}^{1}=3$(种)选法;再从另外7人中选4人,有$C_{7}^{4}$种选法.共有$C_{3}^{1}C_{7}^{4}=105$(种)不同的选法.

跟踪训练3 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球：
(1)共有多少种不同的取法？
(2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？
(3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？

答案： 跟踪训练3　解析:
(1)因为共有8个球，所以共有不同的取法种数为$C_{8}^{5}=\frac{8\times7\times6\times5\times4}{5\times4\times3\times2\times1}=56$(种).
(2)因为不取红球，所以只要在7个白球中取5个球即可，因此共有不同的取法种数为$C_{7}^{5}=\frac{7\times6\times5\times4\times3}{5\times4\times3\times2\times1}=21$(种).
(3)因为必须取红球，所以只需在7个白球中再取4个球即可，因此共有不同的取法种数为$C_{7}^{4}=\frac{7\times6\times5\times4}{4\times3\times2\times1}=35$(种).

1.下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B.从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数
C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式
D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长

答案： 1.解析:对于A,从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题;对于B，从1,2,3,4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题;对于C,从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题;对于D,从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选C.
答案:C

2.计算$C_{3}^{2}+C_{4}^{2}+C_{5}^{2}+C_{6}^{2}=$（ ）
A.34
B.35
C.36
D.37

答案： 2.解析:由题意$C_{3}^{2}+C_{4}^{2}+C_{5}^{2}+C_{6}^{2}=\frac{3\times2}{2\times1}+\frac{4\times3}{2\times1}+\frac{5\times4}{2\times1}+\frac{6\times5}{2\times1}=3 + 6 + 10 + 15 = 34$.故选A.
答案:A

3.把5张相同的公园门票发给7人中的5人，不同的分法种数有（ ）
A.$A_{7}^{5}$
B.$C_{7}^{5}$
C.$C_{7}^{5}A_{5}^{5}$
D.35

答案： 3.解析:把5张相同的公园门票发给7人中的5人，由于门票相同，则不同的分法种数有$C_{7}^{5}$种.故选B.
答案:B

4.现有10元，20元，50元人民币各一张，100元人民币2张，从中取两张，共可组成不同的币值种数是________种。

答案： 4.解析:若没有100元人民币，则有$C_{3}^{2}=3$种，若有一张100元人民币，则有$C_{3}^{1}=3$种，若有两张100元人民币，则有$C_{2}^{2}=1$种，所以共可组成不同的币值种数是$3 + 3 + 1 = 7$(种).
答案:7

从装有$n + 1$个球(其中$n$个白球，1个黑球)的口袋中取出$m$个球$(0＜m\leq n,m,n\in N)$，共有$C_{n + 1}^{m}$种取法。在这$C_{n + 1}^{m}$种取法中，可以分成两类：一类是取出的$m$个球全部为白球，一类是取出$m - 1$个白球和1个黑球，共有$C_{1}^{0}\cdot C_{n}^{m}+C_{1}^{1}\cdot C_{n}^{m - 1}=C_{1}^{0}\cdot C_{n + 1}^{m}$，即有等式$C_{n}^{m}+C_{n}^{m - 1}=C_{n + 1}^{m}$成立。若$(1\leq k＜m\leq n,k,m,n\in N)$，根据上述思想化简下列式子$C_{k}^{0}\cdot C_{n}^{m}+C_{k}^{1}\cdot C_{n}^{m - 1}+C_{k}^{2}\cdot C_{n}^{m - 2}+\cdots +C_{k}^{k}\cdot C_{n}^{m - k}$的结果为（ ）
A.$C_{n + m}^{m}$
B.$C_{n + k}^{k}$
C.$C_{n + k}^{m}$
D.$C_{n + m}^{k}$
指津：根据$C_{k}^{0}\cdot C_{n}^{m}+C_{k}^{1}\cdot C_{n}^{m - 1}+C_{k}^{2}\cdot C_{n}^{m - 2}+\cdots +C_{k}^{k}\cdot C_{n}^{m - k}$分析可知，从装有$n$个白球，$k$个黑球的袋子里，取出$m$个球的所有情况取法总数的和即可。

答案： 解析:$C_{k}^{0}\cdot C_{n}^{m}+C_{k}^{1}\cdot C_{n}^{m - 1}+C_{k}^{2}\cdot C_{n}^{m - 2}+\cdots +C_{k}^{k}\cdot C_{n}^{m - k}$表示:从装有$n$个白球，$k$个黑球的袋子里，取出$m$个球的所有情况取法总数的和，故从装有$n + k$个球的袋中取出$m$个球的不同取法数为$C_{n + k}^{m}$.故选C.
答案:C