《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

师问：如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化？
即E(X + b)和E(aX)(其中a，b为常数)分别与E(X)有怎样的关系？

答案： 设离散型随机变量$X$的分布列为
　　　$X$　$x_1$　$x_2$　$\cdots$　$x_i$　$\cdots$　$x_n$
　　　$P$　$p_1$　$p_2$　$\cdots$　$p_i$　$\cdots$　$p_n$
则$E(X + b)=(x_1 + b)p_1+(x_2 + b)p_2+\cdots+(x_n + b)p_n$
$=(x_1p_1 + x_2p_2+\cdots+x_np_n)+b(p_1 + p_2+\cdots+p_n)$
$=E(X)+b$.
类似地，可得$E(aX)=aE(X)$.

例2 已知随机变量X的分布列为

(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y = 2X－3，求E(Y).

答案：
解析:
(1)依题意，由分布列得$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+m+\frac{1}{20}=1$，解得$m=\frac{1}{6}$，
所以$m$的值为$\frac{1}{6}$.
(2)由
(1)得$E(X)=-2\times\frac{1}{4}+(-1)\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{5}+1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{20}=-\frac{17}{30}$.
(3)方法一　因为$Y = 2X - 3$，
所以$E(Y)=2E(X)-3=2\times(-\frac{17}{30})-3=-\frac{62}{15}$.
方法二　因为$Y = 2X - 3$，所以$Y$的分布列为

所以$E(Y)=-7\times\frac{1}{4}+(-5)\times\frac{1}{3}+(-3)\times\frac{1}{5}+(-1)\times\frac{1}{6}+1\times\frac{1}{20}=-\frac{62}{15}$.

跟踪训练2 (1)已知随机变量X的概率分布列为
P(X = n)=a$\sin\frac{\pi}{4n - 2}$(n = 1，2)，其中a是常数，
则E($\frac{1}{a}X$) = （ ）
A.$\frac{2}{3}$ B.$\frac{4}{3}$ C.2 D.$\frac{8}{9}$
(2)已知随机变量X的分布列为

且Y = aX + 3，若E(Y)=－2，则a等于 （ ）
A.－3 B.－2 C.$\frac{5}{3}$ D.3

答案： 解析:
(1)由$P(X = n)=a\sin\frac{\pi}{4n - 2}(n = 1,2)$，得$P(X = 1)=a$，$P(X = 2)=\frac{1}{2}a$，
由$P(X = 1)+P(X = 2)=1$，得$a=\frac{2}{3}$，
于是$E(X)=1\times P(X = 1)+2\times P(X = 2)=2a=\frac{4}{3}$，
所以$E(\frac{1}{a}X)=\frac{3}{2}E(X)=2$. 故选C.
(2)结合题意，$E(X)=1\times\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{3}+3\times\frac{1}{6}=\frac{5}{3}$，因为$Y = aX + 3$，所以$E(Y)=aE(X)+3=\frac{5}{3}a+3=-2$，解得$a=-3$. 故选A.
答案:
(1)C
(2)A

例3 某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金5 000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1 000元；
方案二：交纳延保金6 230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；
制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表

以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列；
(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？

答案：
解析:
(1)由题意得，$X = 0,1,2,3,4,5,6$，
$P(X = 0)=\frac{1}{10}\times\frac{1}{10}=\frac{1}{100}$，
$P(X = 1)=\frac{1}{10}\times\frac{1}{5}\times2=\frac{1}{25}$，
$P(X = 2)=\frac{1}{10}\times\frac{2}{5}\times2+\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{3}{25}$，
$P(X = 3)=\frac{1}{10}\times\frac{3}{10}\times2+\frac{1}{5}\times\frac{2}{5}\times2=\frac{11}{50}$，
$P(X = 4)=\frac{3}{10}\times\frac{1}{5}\times2+\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}=\frac{7}{25}$，
$P(X = 5)=\frac{3}{10}\times\frac{2}{5}\times2=\frac{6}{25}$，
$P(X = 6)=\frac{3}{10}\times\frac{3}{10}=\frac{9}{100}$，
$\therefore X$的分布列为

(2)选择方案一，所需费用为$Y_1$元，则$X\leq2$时，$Y_1 = 5000$；$X = 3$时，$Y_1 = 6000$；$X = 4$时，$Y_1 = 7000$；$X = 5$时，$Y_5 = 8000$；$X = 6$时，$Y_1 = 9000$.
$\therefore Y_1$的分布列为

$E(Y_1)=5000\times\frac{17}{100}+6000\times\frac{11}{50}+7000\times\frac{7}{25}+8000\times\frac{6}{25}+9000\times\frac{9}{100}=6860$.
选择方案二，所需费用为$Y_2$元，则$X\leq4$时，$Y_2 = 6230$；$X = 5$时，$Y_2 = 6230 + t$；$X = 6$时，$Y_2 = 6230 + 2t$，则$Y_2$的分布列为

$E(Y_2)=6230\times\frac{67}{100}+(6230 + t)\times\frac{6}{25}+(6230 + 2t)\times\frac{9}{100}=6230+\frac{21t}{50}$.
要使选择方案二对客户更合算，则$E(Y_2)\lt E(Y_1)$，
$\therefore 6230+\frac{21t}{50}\lt6860$，解得$t\lt1500$，即$t$的取值范围为$[0,1500)$.