《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

跟踪训练 2 某班 10 名学生的摸底考试成绩和期末考试成绩如下:
计算得: $\sum_{i = 1}^{10}x_{i}y_{i}=36220$, $\sum_{i = 1}^{10}x_{i}^{2}=34400$.
(1)画出散点图;
(2)建立一个经验回归方程, 用摸底考试成绩 $x$ 来预测期末考试成绩 $y$ (精确到 0.1).

答案：
解析:
(1)散点图如图所示.

(2)由表格数据，
$\overline{x}=\frac{50 + 35 + 40 + 55 + 80 + 10 + 60 + 65 + 35 + 90 + 50}{10}=56$,$\overline{y}=\frac{53 + 51 + 56 + 68 + 87 + 10 + 71 + 46 + 31 + 79 + 68}{10}=61$,
则$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{10}x_{i}y_{i}-10\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i = 1}^{10}x_{i}^{2}-10\overline{x}^{2}}=\frac{36220 - 10\times56\times61}{34400 - 10\times56^{2}}\approx0.68$.
$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=61 - 0.68\times56 = 22.92$,
故经验回归方程为$\hat{y}=0.7x + 22.9$.

例 3 某中医药企业根据市场调研与模拟, 得到研发投入 $x$ (亿元) 与产品收益 $y$ (亿元) 的数据统计如下:
(1)计算 $x,y$ 的相关系数 $r$, 并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度? (若 $0.3＜|r|＜0.75$, 则线性相关程度一般; 若 $|r|＞0.75$, 则线性相关程度较高)
(2)求出 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程, 并预测若想收益超过 20 亿元, 则需研发投入至少多少亿元? (结果保留一位小数)
参考数据: $\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}=10$, $\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\overline{y})^{2}=40$, $\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=19$.

答案： 解析:
(1)由表中数据可知,$\overline{x}=\frac{1}{5}\times(1 + 2 + 3 + 4 + 5)=3$,$\overline{y}=\frac{1}{5}\times(3 + 7 + 9 + 10 + 11)=8$,
$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}=10$,$\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\overline{y})^{2}=40$,$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=19$,
则$r=\frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}=\frac{19}{\sqrt{10}\times2\sqrt{10}}=0.95＞0.75$，故相关程度较高.
(2)$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}=10$,$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=19$,
则$\hat{b}=\frac{19}{10}=1.9$,$\hat{a}=8 - 1.9\times3 = 2.3$,故$\hat{y}=1.9x + 2.3$,令$1.9x + 2.3＞20$,解得$x\approx9.3$,故研发投入至少9.3亿元.