《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例 1 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表.

答案： 解析:
(1)先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有$C_{5}^{3}C_{3}^{2}+C_{5}^{4}C_{3}^{1}$种，后排有$A_{5}^{5}$种，共有$(C_{5}^{3}C_{3}^{2}+C_{5}^{4}C_{3}^{1})\cdot A_{5}^{5}=5400$(种)。
(2)除去该女生后，先选后排有$C_{7}^{4}\cdot A_{4}^{4}=840$(种)选法。
(3)先选后排，但先安排该男生有$C_{7}^{4}\cdot C_{4}^{1}\cdot A_{4}^{4}=3360$(种)选法。

跟踪训练 1 (1)14 名同学合影，站成前排 5 人后排 9 人，现摄影师要从后排 9 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A. $\mathrm{C}_{9}^{2}\mathrm{A}_{7}^{2}$
B. $\mathrm{C}_{9}^{2}\mathrm{A}_{8}^{2}$
C. $\mathrm{C}_{9}^{2}\mathrm{A}_{6}^{2}$
D. $\mathrm{C}_{9}^{2}\mathrm{A}_{7}^{7}$

答案： 解析:
(1)由题意，从后排9人中抽2人调整到前排，有$C_{9}^{2}$种不同的取法，将前排5人和后排两人看成七个位置，把两个人在七个位置中选两个位置进行排列，完成调整，有$A_{7}^{2}$种不同的排法，所以不同调整方法的总数是$C_{9}^{2}A_{7}^{2}$种。故选D。

(2)分别从 0，2，4 和 1，3，5 中各任取 2 个数字组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有__________个.

答案：
(2)选取的4个数字不含0时，组成的四位数有$C_{2}^{2}C_{3}^{2}A_{4}^{4}=72$(个)；选取的4个数字含0时，此时0不能在首位上，组成的四位数有$C_{2}^{1}C_{3}^{2}A_{3}^{1}A_{3}^{3}=108$(个)，共有$72 + 108 = 180$(个)。
　答案:
(2)180

例 2 9 本不同的书，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人 3 本；
(2)分为三组，每组 3 本；
(3)分为三组，一组 2 本，一组 3 本，一组 4 本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人 2 本，一人 3 本，一人 4 本；
(5)分为三组，一组 5 本，另外两组每组 2 本；
(6)分给甲、乙、丙三人，其中甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本；
(7)分给甲、乙、丙三人，其中甲 4 本，另外两人中有一人 2 本，一人 3 本；
(8)分给甲、乙、丙三人，其中甲 5 本，另外两人每人 2 本；
(9)分给甲、乙、丙三人，其中一人 5 本，另外两人每人 2 本.

答案： 解析:
(1)这是均匀编号分组问题。
　第1步，从9本书中选3本给甲，有$C_{9}^{3}$种选法。第2步，再从其余的6本书中选3本给乙，有$C_{6}^{3}$种选法。第3步，从余下的3本书中选3本给丙，有$C_{3}^{3}$种选法。根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有$C_{9}^{3}C_{6}^{3}C_{3}^{3}=1680$(种)。
(2)这是均匀不编号分组问题。
　将9本书平均放入1号箱，2号箱，3号箱。先放1号箱，有$C_{9}^{3}$种放法；再放2号箱，有$C_{6}^{3}$种放法；最后把剩下的3本放入3号箱，有$C_{3}^{3}$种放法。因此共有$C_{9}^{3}C_{6}^{3}C_{3}^{3}$种放法。由于这3个箱子现在是有序的，而装的书本数是一样的，因此会出现重复的分法，应用倍缩法，重复的是3个箱子的排列顺序，应除以箱子的全排列数，即$C_{9}^{3}C_{6}^{3}C_{3}^{3}\div A_{3}^{3}=280$。故共有280种不同的分配方法。
(3)这是非均匀不编号分组问题。
　同
(2)中思路，放入3个箱子共$C_{9}^{2}C_{7}^{3}C_{4}^{4}$种放法。由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书都不同，因此不会出现重复的分法，所以共有1260种不同的分配方法。
(4)这是非均匀编号问题。
　在
(3)的基础上再进行全排列，所以不同的分配方法共有$C_{9}^{2}C_{7}^{3}C_{4}^{4}A_{3}^{3}=7560$(种)。
(5)这是部分均匀不编号分组问题。
　同
(2)中思路，放入3个箱子共$C_{9}^{5}C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种放法。这次同样不是平均分配，但恰有2个箱子装的书本数一样，因此是“局部平均”，也会出现重复的分法，重复的是同样装着2本书的2个箱子的排列顺序，因此应除以这2个箱子的全排列数，即$C_{9}^{5}C_{4}^{2}C_{2}^{2}\div A_{2}^{2}=378$。故共有378种不同的分配方法。
(6)这是直接分配问题。
　由于甲的书本数已知，先给甲选书，有$C_{9}^{2}$种选法，再给乙选书，有$C_{7}^{3}$种选法，剩下的4本给丙，故不同的分配方法共有$C_{9}^{2}C_{7}^{3}C_{4}^{4}=1260$(种)。
(7)这是直接分配问题。
　由于甲的书本数已知，先给甲选书，有$C_{9}^{4}$种选法。再把剩下的5本书分成本数分别为2，3的两份，有$C_{5}^{2}C_{3}^{3}$种分法，把分好后的两份书分给乙、丙两个人，有$A_{2}^{2}$种分法。根据分步乘法计数原理，可得不同的分配方法共有$C_{9}^{4}C_{5}^{2}C_{3}^{3}A_{2}^{2}=2520$(种)。
(8)这是直接分配问题。
　由于甲的书本数已知，先给甲选书，有$C_{9}^{5}$种选法。再把剩下的4本书平均分给乙、丙，有$C_{4}^{2}C_{2}^{2}$种分法。故不同的分配方法共有$C_{9}^{5}C_{4}^{2}C_{2}^{2}=756$(种)。
(9)这是部分均匀编号分组问题。
　在
(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三个，不同的分配方法共有$\frac{C_{9}^{5}C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}\cdot A_{3}^{3}=2268$(种)。