《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

师问:什么样的概率问题适合超几何分布？
生答:

答案： 在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”等.

例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红球的个数记为X，求X的分布列；
(4)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列。

答案： 解析:
(1)
(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题;
(3)符合超几何分布的特征，样本都分为两类.随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布;
(4)中没有给出不合格品数，无法计算X 的概率分布，所以不属于超几何分布问题.

跟踪训练1 (多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有 （ ）
A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X

答案： 解析:依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取n次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布，而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.故选ABD.
答案:ABD

例2 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为$\frac{1}{7}$。
(1)求7名学生中甲班的学生数；
(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率。

答案： 解析:
(1)设甲班的学生人数为M，则$\frac{C_{M}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{M(M - 1)}{42}=\frac{1}{7}$，即$M^{2}-M - 6 = 0$，解得M = 3或M = - 2(舍去).
∴7名学生中甲班的学生共有3人.
(2)由题意可知，ξ服从超几何分布，
∴$P(\xi\geq1)=P(\xi = 1)+P(\xi = 2)=\frac{C_{3}^{1}\cdot C_{4}^{1}}{C_{7}^{2}}+\frac{C_{3}^{2}\cdot C_{4}^{0}}{C_{7}^{2}}=\frac{4}{7}+\frac{1}{7}=\frac{5}{7}$.

跟踪训练2 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同。一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率。

答案： 解析:设摸出红球的个数为X，由题意得X~H (5,10,30)，
记中奖为事件A，则A发生的概率为$P(A)=P(X = 3)+P(X = 4)+P(X = 5)=\frac{C_{10}^{3}C_{20}^{2}}{C_{30}^{5}}+\frac{C_{10}^{4}C_{20}^{1}}{C_{30}^{5}}+\frac{C_{10}^{5}}{C_{30}^{5}}=\frac{27252}{142506}\approx0.19123$，
所以中奖的概率为0.19123.