《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例1 三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生不站两端，有多少种不同排法？
(2)如果甲、乙两人必须站两端，有多少种不同排法？
(3)如果甲不站最左端，乙不站最右端，有多少种不同排法？

答案： 解析:
(1)方法一(位置分析法)　因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列,有$A_{5}^{2}$种排法，剩余的位置没有特殊要求，有$A_{6}^{6}$种排法，因此共有$A_{5}^{2}A_{6}^{6}=14400$(种)不同排法.
　方法二(元素分析法)　从中间6个位置选3个安排女生，有$A_{6}^{3}$种排法，其余位置无限制，有$A_{5}^{5}$种排法，因此共有$A_{6}^{3}A_{5}^{5}=14400$(种)不同排法.
　方法三(间接法)　3个女生和5个男生排成一排共有$A_{8}^{8}$种不同的排法，从中扣除女生排在首位的$A_{3}^{1}A_{7}^{7}$种排法和女生排在末位的$A_{3}^{1}A_{7}^{7}$种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次.由于两端都是女生有$A_{3}^{2}A_{6}^{6}$种不同的排法，所以共有$A_{8}^{8}-2A_{3}^{1}A_{7}^{7}+A_{3}^{2}A_{6}^{6}=14400$(种)不同排法.
(2)甲、乙为特殊元素，先将它们排在两端位置，有$A_{2}^{2}$种排法，其余6人全排列，有$A_{6}^{6}$种排法，所以共有$A_{2}^{2}A_{6}^{6}=1440$(种)不同排法.
(3)甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置.
　方法一(特殊元素法)　甲在最右边时，其他的可全排列，有$A_{7}^{7}$种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有$A_{6}^{1}$种，而乙可排在除去最右边位置和甲的位置后剩余的6个位置中的任一个上，有$A_{6}^{1}$种，其余人全排列，共有$A_{6}^{1}A_{6}^{1}A_{6}^{6}$种，由分类加法计数原理得$A_{7}^{7}+A_{6}^{1}A_{6}^{1}A_{6}^{6}=30960$(种).
　方法二(特殊位置法)　先排最左边，除去甲外，有$A_{7}^{1}$种，余下7个位置全排列，有$A_{7}^{7}$种，但应剔除乙在最右边时的排法$A_{6}^{1}A_{6}^{6}$种，所以共有$A_{7}^{1}A_{7}^{7}-A_{6}^{1}A_{6}^{6}=30960$(种).
　方法三(间接法)　8个人全排列，共$A_{8}^{8}$种.其中，不符合条件的有甲在最左边时的$A_{7}^{7}$种，乙在最右边时的$A_{7}^{7}$种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，共$A_{6}^{6}$种.所以共有$A_{8}^{8}-2A_{7}^{7}+A_{6}^{6}=30960$(种).

跟踪训练1 (1)由0，1，2，3这4个数字组成无重复数字的四位数且为偶数，则不同的排法种数为（ ）
A.10
B.12
C.18
D.24

答案： 解析:
(1)当个位数字是0时，无重复数字的四位偶数的个数是$A_{3}^{3}$，当个位数字是2时，无重复数字的四位偶数的个数是$A_{2}^{1}A_{2}^{2}$，所以不同的排法种数为$A_{3}^{3}+A_{2}^{1}A_{2}^{2}=10$.故选A.

(2)现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100 m接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为（ ）
A.56
B.60
C.84
D.120

答案：
(2)由题设，六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2,3棒，丁不能跑第1棒.当甲排第1棒时，乙、丙均不参与，则有$A_{3}^{3}=6$种，乙、丙至少有一人参与，则有$A_{2}^{2}A_{3}^{1}+2A_{2}^{1}A_{2}^{2}=6 + 24 = 30$(种)；当甲排第4棒时，乙、丙均不参与，则有$A_{2}^{1}A_{2}^{2}=4$(种)，乙、丙至少有一人参与，则有$A_{2}^{2}A_{2}^{1}+2A_{2}^{1}A_{2}^{1}A_{2}^{1}=4 + 16 = 20$(种).故合适的选择方法种数为$6 + 30 + 4 + 20 = 60$(种).故选B.
　答案:
(1)A　
(2)B

例2 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求：
(1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种？

答案： 解析:
(1)根据题意，先将4名男教师排在一起，有$A_{4}^{4}=24$(种)坐法，
　将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有$A_{4}^{4}=24$(种)坐法，
根据分步乘法计数原理，共有$24×24 = 576$(种)坐法.
(2)根据题意，先将4名男教师排好，有$A_{4}^{4}=24$(种)坐法，再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有$A_{5}^{3}=60$(种)坐法，
　根据分步乘法计数原理，共有$60×24 = 1440$(种)坐法.

跟踪训练2 (1)甲、乙、丙等6人相约到电影院看电影，恰好买到了六张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，则不同的坐法共有（ ）
A.120种
B.240种
C.360种
D.720种

答案： 解析:
(1)由题意可知，不同的坐法有$A_{2}^{2}A_{5}^{5}=240$(种).故选B.

(2)(多选)现有6个同学排成一排照相，其中甲、乙两位同学不能相邻，则不同的排法有( )种
A.$A_{4}^{4}A_{5}^{2}$
B.$A_{6}^{6}-A_{5}^{5}A_{2}^{2}$
C.$A_{4}^{4}A_{5}^{2}$
D.$A_{4}^{4}C_{5}^{2}$

答案：
(2)先将除甲、乙两位同学外的4位同学排好，再将甲、乙两位同学插入5个空，则不同的排法有$A_{4}^{4}A_{5}^{2}$种；假如甲、乙两位同学相邻，则有$A_{2}^{2}A_{5}^{5}$种排法，所以甲、乙两位同学不能相邻的不同排法有$A_{6}^{6}-A_{5}^{5}A_{2}^{2}$种.故选BC.
　答案:
(1)B　
(2)BC