《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

跟踪训练3 (1)已知$(x - 2)^8=a_{0}+a_{1}(x - 1)+\cdots+a_{8}(x - 1)^8$，则$a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{8}=$ （ ）
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2

答案： 解析:
(1)令x = 2，则$(2 - 2)^8 = a_0 + a_1(2 - 1)+\cdots + a_8(2 - 1)^8$，即$a_0 + a_1 + \cdots + a_8 = 0$. 故选B.
答案:
(1)B

跟踪训练3 (2)(多选)已知在$(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^n$的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是 （ ）
A. $n = 6$
B. 展开式中含$\frac{1}{x}$的项的系数是 - 60
C. 展开式的各二项式系数和为64
D. 展开式的各项系数和为729

答案：
(2)展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式共有7项，则n = 6，故A正确；$(2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})^n$展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{6}^k(2x^{\frac{1}{2}})^{6 - k}(-x^{-\frac{1}{2}})^k = C_{6}^k(-1)^k2^{6 - k}x^{3 - k}$，令3 - k = - 1，k = 4，则展开式中含$\frac{1}{x}$的项的系数是$C_{6}^4·(-1)^42^2 = 4×\frac{6×5}{2×1}=60$，故B错误；展开式的各二项式系数和为$2^6 = 64$，故C正确；令x = 1，则展开式的各项系数和为$(2 - 1)^6 = 1$，故D错误. 故选AC.
答案:
(2)AC

1. $(1 + 2x)^n(n\in\mathbf{N}^*)$的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则$n$为 （ ）
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13

答案： 解析：因为$(1 + 2x)^n(n\in N^*)$的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，所以$\begin{cases}C_{n}^5 = C_{n}^6\\n\geq6\end{cases}$，解得n = 11. 故选B.
答案：B

2. $(1 - x)^5$的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是 （ ）
A. 0
B. - 1
C. - 32
D. 32

答案： 解析：$(1 - x)^5$的二项展开式中所有项的二项式系数之和为$2^5 = 32$. 故选D.
答案：D

3. $a(a - 3b)^7$的展开式中各项系数之和为 （ ）
A. - 256
B. 128
C. - 128
D. 256

答案： 解析：令a = b = 1，得$a(a - 3b)^7$的展开式中各项系数之和为$1×(1 - 3)^7 = - 128$. 故选C.
答案：C

4. 已知$(1 + 2x)^n$的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则$n =$________.

答案： 解析：由$(1 + 2x)^n$的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，得$(1 + 2x)^n$的展开式共有15项，所以n = 14.
答案：14

“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现. 如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是 （ ）
A. $1+\mathrm{C}_{5}^{4}+\mathrm{C}_{6}^{4}+\mathrm{C}_{7}^{4}=\mathrm{C}_{8}^{5}$
B. 第16行所有数字之和为$2^{16}$
C. 第2024行的第1012个数最大
D. 第15行中从左到右第4个数与第5个数之比为$1:3$
指津：对于A，利用组合数运算公式计算；对于B，根据杨辉三角的每行系数和为$2^{n}$即可；对于C，由杨辉三角图可知，第$n$行有$n + 1$个数字，如果$n$是奇数，则第$\frac{n + 1}{2}$和第$\frac{n + 1}{2}+1$个数字最大，且这两个数字一样大；如果$n$是偶数，则第$\frac{n}{2}+1$个数字最大；对于D，第15行第4个数为$\mathrm{C}_{15}^{3}$，第5个数为$\mathrm{C}_{15}^{4}$，作比较即可.

答案： 解析：对于A，$1 + C_{5}^4 + C_{6}^4 + C_{7}^4 = C_{4}^4 + C_{5}^4 + C_{6}^4 + C_{7}^4 = C_{8}^5$，故A正确；对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知，第0行所有数字之和为$1 = 2^0$，第1行所有数字之和为$1 + 1 = 2^1$，第2行所有数字之和为$1 + 2 + 1 = 2^2$，第3行所有数字之和为$1 + 3 + 3 + 1 = 2^3$，第4行所有数字之和为$1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2^4$，以此类推，第16行所有数字之和为$2^{16}$，故B正确；对于C，由杨辉三角图可知，第n行有n + 1个数字，如果n是奇数，则第$\frac{n + 1}{2}$和第$\frac{n + 1}{2}+1$个数字最大，且这两个数字一样大，如果n是偶数，则第$\frac{n}{2}+1$个数字最大，故第2 024行的第$\frac{2024}{2}+1 = 1013$（个）数最大，故C错误；对于D，由题意，第15行第4个数为$C_{15}^3=\frac{15×14×13}{3×2×1}=455$，第5个数为$C_{15}^4=\frac{15×14×13×12}{4×3×2×1}=1365$，即$C_{15}^3:C_{15}^4 = 455:1365 = 1:3$，故D正确. 故选ABD.
答案：ABD