《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

师问：必修二中我们学习了概率的性质，你能说出条件概率的性质吗？
生答：

答案： 设$P(A)＞0$，则
(1)$P(\Omega|A)=1$；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)$；
(3)设$\overline{B}$和B互为对立事件，则$P(\overline{B}|A)=1 - P(B|A)$.

例3 (课本例题)银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求：
(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.

答案： 解析:
(1)设$A_{i}$为“第i次按对密码”(i = 1,2)，则事件A“不超过2次就按对密码”可表示为$A = A_{1}\cup\overline{A_{1}}A_{2}$.
事件$A_{1}$与事件$\overline{A_{1}}A_{2}$互斥，由互斥事件的概率加法公式和乘法公式，得
$P(A)=P(A_{1})+P(\overline{A_{1}}A_{2})=P(A_{1})+P(\overline{A_{1}})\cdot P(A_{2}|\overline{A_{1}})=\frac{1}{10}+\frac{9}{10}×\frac{1}{9}=\frac{1}{5}$.
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为$\frac{1}{5}$.
(2)设B为“密码的最后1位是偶数”，则由条件概率的性质可得
$P(A|B)=P(A_{1}|B)+P(\overline{A_{1}}A_{2}|B)=\frac{1}{5}+\frac{4×1}{5×4}=\frac{2}{5}$.
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为$\frac{2}{5}$.

跟踪训练3 在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球.从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.

答案： 解析:设“摸出的第一个球为红球”为事件A,“摸出的第二个球为黄球”为事件B,“摸出的第二个球为黑球”为事件C.
$P(A)=\frac{1}{10}$，$P(AB)=\frac{1×2}{10×9}=\frac{1}{45}$，$P(AC)=\frac{1×3}{10×9}=\frac{1}{30}$.
所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{45}}{\frac{1}{10}}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$，
$P(C|A)=\frac{P(AC)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}$，
所以$P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$.故所求的条件概率为$\frac{5}{9}$.

1.已知事件A，B满足：P(AB)=$\frac{1}{3}$，P(A|B)=$\frac{4}{9}$，则P(B)=（ ）
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{27}$

答案： 解析:$P(B)=\frac{P(AB)}{P(A|B)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}}=\frac{1}{3}×\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$.故选A.
答案:A

2.掷一个均匀的骰子.记A为“掷得点数小于6”，B为“掷得点数为偶数”，则P(B|A)为（ ）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： 解析:掷一个均匀的骰子，有1,2,3,4,5,6共6种结果，
事件A包含点数为1,2,3,4,5，共5种结果，所以$P(A)=\frac{5}{6}$，
事件AB包含点数为2,4共2种结果，所以$P(AB)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{2}{5}$.故选B.
答案:B

3.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是$\frac{4}{15}$，刮风的概率为$\frac{2}{15}$，既刮风又下雨的概率为$\frac{1}{10}$，则在刮风天里，下雨的概率为（ ）
A.$\frac{8}{225}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 解析:设事件A为“刮风”，事件B为“下雨”，事件AB为“既刮风又下雨”，则$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{2}{15}}=\frac{3}{4}$.故选D.
答案:D

4.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=$\frac{1}{4}$，P(B)=$\frac{1}{3}$，P(A∪B)=$\frac{1}{2}$，则P(A|B)=________.

答案： 解析:由$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-P(AB)=\frac{1}{2}$，解得$P(AB)=\frac{1}{12}$，
所以$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$.
答案:$\frac{1}{4}$

(多选)已知随机事件A，B的对立事件分别为$\overline{A}$，$\overline{B}$，若P(A)＞0，P(B)＞0，则（ ）
A.P(A|B)+P($\overline{A}$|B)=1
B.P(B|A)+P($\overline{B}$|A)=P(A)
C.若A，B独立，则P(A|B)=P(A)
D.若A，B互斥，则P(A|B)=P(B|A)

答案： 解析:对于A，$P(A|B)+P(\overline{A}|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{P(\overline{A}B)}{P(B)}=\frac{P(AB)+P(\overline{A}B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)} = 1$，所以A正确；
对于B，$P(B|A)+P(\overline{B}|A)=\frac{P(BA)}{P(A)}+\frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}=\frac{P(BA)+P(\overline{B}A)}{P(A)}=\frac{P(A)}{P(A)} = 1$，所以B错误；
对于C，若A，B独立，则$P(AB)=P(A)P(B)$，所以$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$，所以C正确；
对于D，若A，B互斥，则$P(AB)=0$，所以$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0}{P(B)} = 0$，$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0}{P(A)} = 0$，
所以$P(A|B)=P(B|A)$，所以D正确.故选ACD.
答案:ACD