《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

师问：某商场要将单价分别为18元/千克、24元/千克、36元/千克的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
生答：

答案： 由于平均在每1千克的混合糖果中，3种糖果的质量分别是$\frac{1}{2}$千克、$\frac{1}{3}$千克和$\frac{1}{6}$千克，所以混合糖果的合理价格应该是$18\times\frac{1}{2}+24\times\frac{1}{3}+36\times\frac{1}{6}=23$(元/千克).
这里的23元/千克就是混合糖果价格的均值.

例1 某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复.已知食堂今天供应套餐甲，用随机变量X表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求X的分布列与期望.

答案：
解析:$X$的所有可能取值分别为0,1,2，
则$P(X = 0)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
$P(X = 2)=\frac{1}{2}\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P(X = 1)=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$，
$X$的分布列为

所以$X$的期望为$E(X)=0\times\frac{1}{8}+1\times\frac{5}{8}+2\times\frac{1}{4}=\frac{9}{8}$.

跟踪训练1 已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球.记摸球的次数为随机变量X，求X的分布列和期望.

答案：
解析:$X$的所有可能取值分别为1,2,3，
$P(X = 1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$P(X = 2)=\frac{2}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
$P(X = 3)=\frac{1}{6}$，
所以$X$的分布列为

$E(X)=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{6}=\frac{5}{3}$.