《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

师问:(1)从1,2,3,4这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？
(2)若记A_{4}^{2}表示两位数的个数，A_{4}^{3}表示三位数的个数，你能否得出A_{n}^{2}的意义和A_{n}^{2}的值？
(3)你能写出A_{n}^{m}的值吗？有什么特征？若m = n呢？
生答:

答案：
(1)若从这4个数字中选出2个，则能构成4×3 = 12(个)无重复数字的两位数；若选出3个，则能构成4×3×2 = 24(个)无重复数字的三位数.
(2)$A_{n}^{2}$的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任何一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数$A_{n}^{2}$.由分步乘法计数原理知，完成上述填空共有n(n - 1)种填法，所以$A_{n}^{2}=n(n - 1)$.
(3)$A_{n}^{m}=n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 1)(m,n\in N_{+},m\leqslant n)$.
①公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n - m + 1，共有m个因数；
②当m = n时，即n个不同元素全部取出的一个排列，即$A_{n}^{n}=n\cdot(n - 1)\cdot(n - 2)\cdots2\cdot1=n!$.

例1　(1)88×89×90×91×...×100可以表示为(　　)
A. A_{100}^{10}　　　B. A_{100}^{11}　　　C. A_{100}^{12}　　　D. A_{100}^{13}
(2)计算$\frac{2A_{8}^{5}+7A_{8}^{4}}{A_{8}^{8}-A_{9}^{5}}$.

答案：
(1)$88×89×90×91\cdots×100 = A_{100}^{13}$.故选D.
(2)$\frac{2A_{8}^{5}+7A_{8}^{4}}{A_{8}^{8}-A_{9}^{5}}=\frac{\frac{2×8!}{3!}+\frac{7×8!}{4!}}{8!-\frac{9!}{4!}}=\frac{\frac{8×8!}{4!}+\frac{7×8!}{4!}}{\frac{4!×8!}{4!}-\frac{9×8!}{4!}}=\frac{8 + 7}{4!-9}=1$.

跟踪训练1　(1)5A_{5}^{3}+4A_{4}^{2}等于(　　)
A. 107　　　B. 323　　　C. 320　　　D. 348
(2)若A_{2n}^{3}=10A_{n}^{3}，则正整数n = ________.

答案： 解析：
(1)原式 = 5×5×4×3 + 4×4×3 = 348.故选D.
(2)因为$A_{2n}^{3}=10A_{n}^{3}$，所以2n(2n - 1)(2n - 2)=10n(n - 1)(n - 2)，且n≥3，n∈N*，
整理得到4n - 2 = 5(n - 2)，解得n = 8.
答案：
(1)D
(2)8

例2　(1)(多选)下列选项中正确的是(　　)
A. n!=$\frac{(n + 1)!}{n + 1}$　　　　B. $A_{n + 1}^{m + 1}=(n + 1)A_{n}^{m}$
C. $A_{n}^{m + 1}$=$\frac{n!}{(n - m - 1)!}$　　D. A_{n - 1}^{m - 1}=$\frac{(n - 1)!}{(m - n)!}$
(2)求证:$A_{n + 1}^{m}-A_{n}^{m}=mA_{n}^{m - 1}.$

答案： 解析：
(1)对于A，$\frac{(n + 1)!}{n + 1}=\frac{(n + 1)\cdot n!}{n + 1}=n!$，A正确；
对于B，$A_{n + 1}^{m + 1}=\frac{(n + 1)!}{[(n + 1)-(m + 1)]!}=\frac{(n + 1)!}{(n - m)!}=\frac{(n + 1)\cdot n!}{(n - m)!}=(n + 1)A_{n}^{m}$，B正确；对于C，$A_{n}^{m + 1}=\frac{n!}{[n-(m + 1)]!}=\frac{n!}{(n - m - 1)!}$，C正确；对于D，$A_{n - 1}^{m - 1}=\frac{(n - 1)!}{[(n - 1)-(m - 1)]!}=\frac{(n - 1)!}{(n - m)!}$，D错误.故选ABC.
(2)证明：
∵$A_{n + 1}^{m}-A_{n}^{m}=\frac{(n + 1)!}{(n + 1 - m)!}-\frac{n!}{(n - m)!}=\frac{n!}{(n - m)!}(\frac{n + 1}{n + 1 - m}-1)=\frac{n!}{(n - m)!}\cdot\frac{m}{n + 1 - m}=m\cdot\frac{n!}{(n + 1 - m)!}=mA_{n}^{m - 1}$，所以$A_{n + 1}^{m}-A_{n}^{m}=mA_{n}^{m - 1}$.

跟踪训练2　解关于x的不等式A_{8}^{x}＜6A_{8}^{x - 2}.

答案： 解析：依题意有$\begin{cases}x\leqslant8\\0\leqslant x - 2\leqslant8\end{cases}$，
∴2≤x≤8，
由$A_{8}^{x}＜6A_{8}^{x - 2}$，得$\frac{8!}{(8 - x)!}＜6×\frac{8!}{(10 - x)!}$，
即$1＜\frac{6}{(10 - x)(9 - x)}$，
整理得$x^{2}-19x + 84＜0$，解得7＜x＜12，所以7＜x≤8，
又x∈N*，得x = 8，
所以$A_{8}^{x}＜6A_{8}^{x - 2}$的解集为{8}.