《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

师问:(1)我们知道,常数的期望是它本身,那么常数的方差是否是本身呢?
(2)上一节我们学过离散型随机变量$X$乘以一个常数$a$,其均值变为原来的$a$倍,其方差如何?
生答：

答案：
(1)不是，因为 $E(X)=c$，
所以 $D(c)=\sum_{i = 1}^{n}(c - E(X))^{2}p_{i}=0$.
(2)方差变为原方差的$a^{2}$倍，即 $D(aX)=a^{2}D(X)$，因此，$D(aX + b)=a^{2}D(X)$.

例2 已知随机变量$X$的分布列如下表所示：

求$D(X)$，$D(2X + 5)$.

答案： 由分布列可得 $E(X)=-2\times0.16 + 1\times0.44+3\times0.40 = 1.32$.
所以 $E(2X + 5)=2E(X)+5=2\times1.32 + 5 = 7.64$.
$D(X)=(-2 - 1.32)^{2}\times0.16+(1 - 1.32)^{2}\times0.44+(3 - 1.32)^{2}\times0.40 = 2.9376$.
所以 $D(2X + 5)=4D(X)=4\times2.9376 = 11.7504$.

跟踪训练2 已知随机变量$X$满足$E(2X + 3)=7$，$D(2X + 3)=16$,则下列选项正确的是 （ ）
A.$E(X)=\frac{7}{2}$，$D(X)=\frac{13}{2}$
B.$E(X)=2$，$D(X)=4$
C.$E(X)=2$，$D(X)=8$
D.$E(X)=\frac{7}{4}$，$D(X)=8$

答案： $E(2X + 3)=2E(X)+3 = 7$，得 $E(X)=2$，
$D(2X + 3)=4D(X)=16$，得 $D(X)=4$. 故选B.

例3 某投资公司计划在2024年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30％,也可能亏损15％,且这两种情况发生的概率分别为$\frac{7}{9}$和$\frac{2}{9}$.
项目二:通信设备,据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50％,可能亏损30％,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为$\frac{3}{5}$，$\frac{1}{3}$和$\frac{1}{15}$.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
学霸笔记:利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤:
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据均值与方差的几何意义做出结论.

答案： 若按“项目一”投资，设获利$X_{1}$万元，
则$X_{1}$的分布列为
| $X_{1}$|300|-150|
|--|--|--|
|P|$\frac{7}{9}$|$\frac{2}{9}$|
所以 $E(X_{1})=300\times\frac{7}{9}+(-150)\times\frac{2}{9}=200$（万元），
$D(X_{1})=(300 - 200)^{2}\times\frac{7}{9}+(-150 - 200)^{2}\times\frac{2}{9}=35000$.
若按“项目二”投资，设获利$X_{2}$万元，
则$X_{2}$的分布列为
| $X_{2}$|500|-300|0|
|--|--|--|--|
|P|$\frac{3}{5}$|$\frac{1}{3}$|$\frac{1}{15}$|
所以 $E(X_{2})=500\times\frac{3}{5}+(-300)\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{15}=200$（万元），
$D(X_{2})=(500 - 200)^{2}\times\frac{3}{5}+(-300 - 200)^{2}\times\frac{1}{3}+(0 - 200)^{2}\times\frac{1}{15}=140000$.
可知 $E(X_{1})=E(X_{2})$，$D(X_{1})\lt D(X_{2})$，
这说明虽然项目一、项目二获利均值相等，但项目一更稳妥，所以建议该投资公司选择项目一投资.