《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例1 (1)$(x+\frac{y^{2}}{x})(x + y)^{6}$展开式中，$x^{3}y^{4}$的系数为（ ）
A. 15 B. 20 C. 30 D. 40
(2)若$(x+\frac{m}{x})(x - \frac{1}{x})^{5}$的展开式中常数项是20，则$m=$（ ）
A. -2 B. -3 C. 2 D. 3

答案： 解析:
(1) $\because (x + y)^6 = C_6^0 x^6 y^0 + C_6^1 x^5 y + \cdots + C_6^6 x^0 y^6$，$\therefore (x + \frac{y^2}{x})(x + y)^6 = x(x + y)^6 + \frac{y^2}{x}(x + y)^6$，$\therefore x^3 y^4$的系数为$C_6^4 + C_6^2 = 15 + 15 = 30$. 故选C.
(2) $(x + \frac{m}{x})(x - \frac{1}{x})^5 = x(x - \frac{1}{x})^5 + \frac{m}{x}(x - \frac{1}{x})^5$，$(x - \frac{1}{x})^5$的展开式的通项公式为$T_{k + 1} = C_5^k x^{5 - k}(-\frac{1}{x})^k = C_5^k (-1)^k x^{5 - 2k}$，令$5 - 2k = -1$，解得$k = 3$，则$x(x - \frac{1}{x})^5$的展开式的常数项为$-C_5^3 = -10$；令$5 - 2k = 1$，解得$k = 2$，则$\frac{m}{x}(x - \frac{1}{x})^5$的展开式的常数项为$mC_5^2 = 10m$，因为$(x + \frac{m}{x})(x - \frac{1}{x})^5$的展开式中常数项是20，所以$10m - 10 = 20$，解得$m = 3$. 故选D.
答案:
(1)C　
(2)D

跟踪训练1 (1)$(1 + 2x)(1 + x)^{4}$的展开式中$x^{3}$的系数为（ ）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
(2)已知$(1 + x)(1 - 2x)^{4}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{5}x^{5}$，则$a_{1}$的值为__________.

答案： 解析:
(1)由二项式$(1 + x)^4$的展开式的通项为$T_{r + 1} = C_4^r x^r$，则$(1 + 2x)(1 + x)^4$展开式中$x^3$项为$1\times C_4^3 x^3 + 2x\cdot C_4^2 x^2 = 16x^3$，所以展开式中$x^3$的系数为16. 故选B.
(2)由题意可得$(1 + x)(1 - 2x)^4 = (1 - 2x)^4 + x(1 - 2x)^4$，然后分别求出$(1 - 2x)^4$和$x(1 - 2x)^4$中$x$项的系数. 对于$(1 - 2x)^4$其展开式为$T_{k + 1} = C_4^k (-2)^{4 - k} x^{4 - k}$，当$k = 3$时，$x$项的系数为 - 8，对于$x(1 - 2x)^4$其展开式为$xT_{r + 1} = C_4^r\cdot (-2)^{4 - r} x^{5 - r}$，当$r = 4$时，$x$项的系数为1，所以$x$项的系数$a_1 = - 8 + 1 = - 7$.
答案:
(1)B　
(2)-7

例2 (1)$(x^{2}+x + y)^{5}$的展开式中$x^{3}y^{3}$的系数是（ ）
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
(2)$(\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\sqrt{2})^{5}$的展开式中的常数项为__________（用数字作答）.

答案： 解析:
(1)因为$(x^2 + x + y)^5$的展开式中，通项公式$T_{k + 1} = C_5^k y^{5 - k}(x^2 + x)^k$，令$5 - k = 3$，得$k = 2$，则$T_3 = C_5^2 y^3\cdot (x^2 + x)^2$，又$(x^2 + x)^2 = x^4 + 2x^3 + x^2$，所以$x^3 y^3$的系数为$2C_5^2 = 20$. 故选A.
(2)方法一　不妨设$x ＞ 0$，则$(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2})^5$可化为$(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$，其展开式的通项为$T_{k + 1} = C_{10}^k (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10 - k}\cdot (\sqrt{x})^{10 - 2k}$，令$10 - 2k = 0$，得$k = 5$，故所求常数项为$C_{10}^5\times (\frac{1}{\sqrt{2}})^5 = \frac{63\sqrt{2}}{2}$.
方法二　原式$= (\frac{x^2 + 2\sqrt{2}x + 2}{2x})^5 = \frac{1}{32x^5}(x + \sqrt{2})^{10}$，所以求$(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2})^5$的展开式中的常数项，可转化为求$(x + \sqrt{2})^{10}$的展开式中含$x^5$项的系数，即$C_{10}^5\times (\sqrt{2})^5$，故所求的常数项为$\frac{C_{10}^5\times (\sqrt{2})^5}{32} = \frac{63\sqrt{2}}{2}$.
方法三　$(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2})^5 = [(\frac{x}{2} + \frac{1}{x}) + \sqrt{2}]^5$的展开式的第$k + 1$项为$T_{k + 1} = C_5^k (\frac{x}{2} + \frac{1}{x})^{5 - k}2^{\frac{k}{2}}$，$(\frac{x}{2} + \frac{1}{x})^{5 - k}$的展开式的第$r + 1$项为$T'_{r + 1} = C_{5 - k}^r x^{5 - 2r - k}2^{k + r - 5}(0\leqslant r\leqslant 5 - k)$. 令$5 - 2r - k = 0$，则$k + 2r = 5$，可得$k = 1,r = 2$或$k = 3,r = 1$或$k = 5,r = 0$. 当$k = 1,r = 2$时，$T_2 = C_5^1 C_4^2\times 2^{-2}\times 2^{\frac{1}{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$；当$k = 3,r = 1$时，$T_4 = C_5^3 C_2^1\times 2^{-1}\times 2^{\frac{3}{2}} = 20\sqrt{2}$；当$k = 5,r = 0$时，$T_6 = C_5^5 2^{\frac{5}{2}} = 4\sqrt{2}$. 综上，$(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2})^5$的展开式中的常数项为$\frac{15\sqrt{2}}{2} + 20\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = \frac{63\sqrt{2}}{2}$.
答案:
(1)A
(2)$\frac{63\sqrt{2}}{2}$

跟踪训练2 (1)在$(3x^{3}-5x^{2}+1)^{5}$的展开式中，$x^{5}$项的系数为（ ）
A. 299 B. 300 C. -300 D. -302
(2)若$(2x^{2}-x + 2)^{5}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{10}x^{10}$，则$a_{0}+|a_{3}|=$__________.

答案： 解析:
(1)$(3x^3 - 5x^2 + 1)^5$的展开式中，$x^5$项是从5个多项式$3x^3 - 5x^2 + 1$中任取1个用$3x^3$，再余下4个多项式中任取1个用$-5x^2$，最后3个多项式都用1相乘的积，即$C_5^1\cdot 3x^3\cdot C_4^1 (-5x^2)\cdot 1^3 = - 300x^5$，所以$x^5$项的系数为 - 300. 故选C.
(2)依题意，令$x = 0$，得$a_0 = 2^5 = 32$，展开式的$x^3$项是5个多项式$(2x^2 - x + 2)$中，取1个用$2x^2$，再从余下4个中取1个用$-x$，另3个都用2，或者是5个多项式$(2x^2 - x + 2)$中，取3个用$-x$，另2个都用2，因此$a_3 = C_5^1\times 2\times C_4^1\times (-1)\times 2^3 + C_5^3\times (-1)^3\times 2^2 = - 360$，所以$a_0 + |a_3| = 392$.
答案:
(1)C　
(2)392