《2025年师说高中数学选择性必修第三册人教版》

例1 某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为$\frac{2}{3}$,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为$\frac{2}{5}$,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为$X$,求$X\leqslant3$的概率;
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?

答案： 解析:
(1)由题意知，小明中奖的概率为$\frac{2}{3}$，小红中奖的概率为$\frac{2}{5}$，且两人抽奖中奖与否互不影响，记“他们的累计得分$X\leq3$”的事件为$A$，则事件$A$的对立事件是“$X = 5$”。
$\because P(X = 5)=\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=\frac{4}{15}$，
$\therefore P(A)=1 - P(X = 5)=\frac{11}{15}$，即他们的累计得分$X\leq3$的概率为$\frac{11}{15}$。
(2)设小明、小红两人都选择甲方案抽奖中奖次数为$X_1$，小明、小红两人都选择方案乙抽奖中奖次数为$X_2$，则这两人都选择甲方案抽奖累计得分的数学期望为$E(2X_1)$，都选择乙方案抽奖累计得分的数学期望为$E(3X_2)$。
由已知可得$X_1\sim B(2,\frac{2}{3})$，$X_2\sim B(2,\frac{2}{5})$，
$\therefore E(X_1)=2\times\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，
$\therefore E(X_2)=2\times\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$，
从而$E(2X_1)=2E(X_1)=\frac{8}{3}$，
$E(3X_2)=3E(X_2)=\frac{12}{5}$。
由于$E(2X_1)＞E(3X_2)$，
$\therefore$他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大。

跟踪训练1 现有10 000人参加某保险公司的人身意外保险,该公司规定:每人每年付给公司120元,若意外死亡,公司将赔偿10 000元.如果每人每年意外死亡的概率为0.006,那么该公司会赔本吗?

答案： 解析:设这10000人中意外死亡的人数为$X$，根据题意，$X$服从参数为$n = 10000$，$p = 0.006$的二项分布，则$P(X = k)=C_{10000}^{k}0.006^{k}(1 - 0.006)^{10000 - k}(k = 0,1,2,3,\cdots,10000)$。
死亡人数为$X$时，公司要赔偿$X$万元，此时公司的利润为$(120 - X)$万元。
由上可知公司赔本的概率为
$P(120 - X＜0)=1 - P(X\leq120)=1 - \sum_{k = 0}^{120}P(X = k)=1 - \sum_{k = 0}^{120}C_{10000}^{k}0.006^{k}0.994^{10000 - k}\approx0$，
这说明，该公司几乎不会赔本。

例2 某企业使用新技术对某款芯片进行试生产,该厂家生产了两批同种规格的芯片,第一批占60%,次品率为6%;第二批占40%,次品率为5%.为确保质量,现在将两批芯片混合,工作人员从中抽样检查.
(1)从混合的芯片中任取1个,求这个芯片是合格品的概率;
(2)若在两批产品混合前采取分层抽样方法抽取一个样本容量为10的样本,再从样本中抽取3个芯片,求这3个芯片含第二批芯片数$X$的分布列和数学期望.

答案：
解析:
(1)设事件$B$为“任取一个芯片是合格品”，事件$A_1$为“产品取自第一批”，事件$A_2$为“产品取自第二批”。
则$P(A_1)=0.6$，$P(A_2)=0.4$，$P(B|A_1)=1 - 0.06 = 0.94$，$P(B|A_2)=1 - 0.05 = 0.95$。
所以$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)$
$=0.6\times0.94 + 0.4\times0.95 = 0.944$。
(2)由条件可知第一批芯片抽取$10\times60\% = 6$个，第二批芯片抽取$10\times40\% = 4$个。
则$X$的可能取值为$0,1,2,3$。
则$P(X = 0)=\frac{C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{6}^{1}C_{4}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$，
$P(X = 3)=\frac{C_{4}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$。
所以$X$的分布列为

所以$E(X)=0\times\frac{1}{6}+1\times\frac{1}{2}+2\times\frac{3}{10}+3\times\frac{1}{30}=\frac{6}{5}$。

跟踪训练2 某家庭进行摸球得压岁钱游戏.规则如下:袋中有大小相同的3个红球,2个蓝球,每次从袋中摸出2个球,若摸到0个红球就没有压岁钱;若摸到1个红球就得压岁钱100元;若摸到2个红球就得压岁钱200元.
(1)求摸球一次,摸到红球个数$X$的分布列;
(2)求摸球一次,得到的压岁钱$Y$的均值.

答案：
解析:
(1)$X$的所有可能取值为$0,1,2$。
则$P(X = 0)=\frac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}=\frac{1}{10}$，$P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac{3}{5}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}}=\frac{3}{10}$。
所以摸到红球个数$X$的分布列为

(2)由题意得摸球一次得到的压岁钱$Y = 100X$。
由
(1)得$E(X)=0\times\frac{1}{10}+1\times\frac{3}{5}+2\times\frac{3}{10}=\frac{6}{5}$。
所以$E(Y)=E(100X)=100E(X)=100\times\frac{6}{5}=120$，故摸球一次得到的压岁钱$Y$的数学期望为120元。